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2010南京中考数学题问题

发表时间:2024-07-17 00:48:36 来源:网友投稿

(1)①E、A重合时,三角形EFG的底和高都等于正方形的边长,由此可得到其面积;

②E、A不重合时;易证得△AEM≌△DFM,则EM=FM,由勾股定理易求得EM的长,即可得出EF的长;下面求MG的长,过M作MN⊥BC于N,则AB=MN=2AM,由于∠AME和∠NMC同为∠EMN的余角,由此可证得△AEM∽△NCM,根据相似三角形得到的关于AM、MN、EM、MC的比例关系式,即可求得MC的表达式,进而可由三角形的面积公式求出y、x的函数关系式;

(2)可分别作出E、A重合与E、B重合时P点的位置,此时可发现PP′正好是△EGG′的中位线,则P点运动的距离为GG′的一半;Rt△BMG′中,MG⊥BG′,易证得∠MBG=∠GMG′,根据∠MBG的正切值即可得到GG′、GM(即正方形的边长)的比例关系,由此得解.解答:解:(1)当点E与点A重合时,x=0,y=$\frac{1}{2}$×2×2=2

当点E与点A不重合时,0<y≤2

在正方形ABCD中,∠A=∠ADC=90°

∴∠MDF=90°,∴∠A=∠MDF

∵AM=DM,∠AME=∠DMF

∴△AME≌△DMF

∴ME=MF

在Rt△AME中,AE=x,AM=1,ME=$\sqrt{{x}^{2}+1}$

∴EF=2ME=2$\sqrt{{x}^{2}+1}$

过M作MN⊥BC,垂足为N(如图)

则∠MNG=90°,∠AMN=90°,MN=AB=AD=2AM

∴∠AME+∠EMN=90°

∵∠EMG=90°

∴∠GMN+∠EMN=90°

∴∠AME=∠GMN

∴Rt△AME∽Rt△NMG

∴$\frac{AM}{NM}$=$\frac{ME}{MG}$,即$\frac{ME}{MG}$=$\frac{1}{2}$

∴MG=2ME=2$\sqrt{{x}^{2}+1}$

∴y=$\frac{1}{2}$EF×MG=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{{x}^{2}+1}$×2$\sqrt{{x}^{2}+1}$=2x2+2

∴y=2x2+2,其中0≤x≤2;(6分)

(2)如图,PP′即为P点运动的距离;

在Rt△BMG′中,MG⊥BG′;

∴∠MBG=∠G′MG=90°-∠BMG;

∴tan∠BMG=tan∠GMG′=2;

∴GG′=2BG=4;

△MGG′中,P、P′分别是MG、MG′的中点,

∴PP′是△MGG′的中位线;

∴PP′=$\frac{1}{2}$GG′=2;

即:点P运动路线的长为2.(8分)

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