哥德巴赫猜想内容

哥德巴赫-哥德巴赫猜想

内容

1729年~1764年，哥德巴赫与欧拉保持了长达三十五年的书信往来。在1742年6月7日给欧拉的信中，哥德巴赫提出了以下的猜想:　(a)任何一个≥6的偶数，都可以表示成两个奇质数之和。

(b)任何一个≥9的奇数，都可以表示成三个奇质数之和。这就是所谓的哥德巴赫猜想。

在信中他写道：“我的问题是这样的：

随便取某一个奇数，比如77，可以把它写成三个素数之和：

77=53+17+7；

再任取一个奇数，比如461，

461=449+7+5，

也是三个素数之和，461还可以写成257+199+5，仍然是三个素数之和。这样我发现：任何大于9的奇数都是三个素数之和。

但这怎样证明呢？虽然做过的每一次试验都得到了上述结果，但是不可能把所有的奇数都拿来检验，需要的是一般的证明，而不是个别的检验。”

欧拉回信说：“这个命题看来是正确的”。但是他也给不出严格的证明。

同时欧拉又提出了此一猜想可以有另一个等价的版本：任何一个大于2的偶数都是两个素数之和，但是这个命题他也没能给予证明。不难看出哥德巴赫的命题是欧拉命题的推论。

哥德巴赫猜想最初的内容也可表述为：

任一大于5的整数都可写成三个质数之和。

而今日常见的猜想陈述为欧拉的版本，即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。

事实上任何一个大于5的奇数都可以写成如下形式：2N+1=3+2(N-1)，其中2(N-1)≥4。若欧拉的命题成立，则偶数2N可以写成两个素数之和，于是奇数2N+1可以写成三个素数之和，从而，对于大于5的奇数，哥德巴赫的猜想成立。

但是哥德巴赫的命题成立并不能保证欧拉命题的成立。因而欧拉的命题比哥德巴赫的命题要求更高。现在通常把这两个命题统称为哥德巴赫猜想。

进展

哥德巴赫猜想貌似简单，要证明它却着实不易，成为数学中一个著名的难题。18、19世纪，所有的数论专家对这个猜想的证明都没有作出实质性的推进，直到20世纪才有所突破。1937年苏联数学家维诺格拉多夫（и．M．Bиногралов,1891-1983），用他创造的三角和方法，证明了任何大奇数都可表示为三个素数之和。不过维诺格拉多夫的所谓大奇数要求大得出奇，与哥德巴赫猜想的要求仍相距甚远。

考虑把偶数表示为两数之和，而每一个数又是若干素数之积。把命题任何一个大偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和记作a+b，那么哥氏猜想就是要证明1+1（即任何一个大偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过1个的数与另一个素因子不超过1个的数之和）成立。1966年陈景润证明了1+2成立，即任何一个大偶数都可表示成一个素数与另一个素因子不超过2个的数之和。