教学楼疏散都有哪些模型各有什么适用范围

地震时教学楼学生安全疏散所用的时间的计算和分析

Ⅰ.摘要：

在工程实际中，通过人员疏散所需要的时间与人员安全疏散可用的时间进行比较来判断建筑的疏散设施能否满足突发情况下的人员疏散要求。本文设计了两种模型，一种是口容量模型，另一种是串、并联系统模型，来对此进行研究与讨论。口容量疏散模型的设计思路是：疏散开始后作为疏散人员离开所在的空间,经由门、走廊、楼梯等构成的疏散通道,转移到安全的场所。串、并联系统模型是将建筑的疏散设施抽象成网络的节点，从而将人员在建筑中的疏散流程简化成节点的串联系统模型，并联系统模型或者是串、并联系统组成的复杂模型。并通过上述两种模型给出了计算方法和分析。

Ⅱ.关键词：口容量模型串、并联模型疏散时间疏散能力有效宽度

Ⅲ.问题重述：

1.社会背景：

中新网5月24日电国务院新闻办今天下午受国务院抗震救灾总指挥部授权发布，据民政部统计，截至24日12时，四川汶川大地震已经造成60560人遇难，352290人受伤，26221人失踪，全国人民沉痛衰悼遇难同胞，在重大灾害面前，全国上下，众志成城，坚决战胜这场特大的地震灾害，显示了中华民族的伟大力量！

痛定思痛在这场特大地震灾害里，遇难的同胞大多是被倒塌的建筑掩埋或挤压而失去自己的生命，在人员聚集的场所（如学校）伤亡犹其惨痛！如果地震发生之时人们能在第一时间撒离建筑物，那么伤亡可能会小得多！

2.问题简述：

现在考虑学校的一座教学楼,共五层，其中每层楼有一排教室，共四间。

问题一叫我们用数学模型来分析这栋教学楼的师生疏散所用的时间；问题二叫我们根据建立的数学模型给出最佳撤离方案；问题三叫我们结合实际给出教学楼的设计方案合理的建议；问题四叫我们按照教学楼预计的设计方案建造，在考虑不同年龄的学生的运动能力不同情况下,为方便紧急撤离,给学校提供合理的教室安排方案.

Ⅳ.问题一：用数学模型来分析这栋教学楼的师生疏散所用的时间

1.基本假设：

a．疏散过程中，人群的流量与疏散通道的宽度成正比分配；

b．所有人员在突发事件发生后同时疏散，中途不退后；

c．所有人员在疏散过程中撤离速度不变；

d．此时不考虑不同年龄的人的身体条件以及运动能力的不同。

2.模型一：

将整个疏散分为2类，即当待疏散人数较少时，疏散时间由疏散的最远距离和速度决定；当待疏散人数很多时，疏散时间由通过出口的最长时间决定。

2.1符号说明：

①：L是距离疏散出口的最远距离（m）；

②：v是人员疏散的速度（m/s）；

③：P是待疏散的人数（人）；

④：e疏散出口的疏散能力（人/ms）；

⑤：w是疏散出口的有效宽度（m）；

⑥：q表示每个教室单位时间内从门口流出的人（人/s）；

2.2单元体:

D

NiLi

图1b

图1a

图1所示的单元体是最简单的建筑结构。门为第一道疏散出口，宽度为D。图1b为图1a简化结构。人员在平地疏散区域内运动，疏散时间。人流通过疏散出口一般会发生拥塞，疏散时间。单元体里面人员安全通过第一道疏散出口需要的时间等于上述两种情形下的最长时间。

即：

2.3并联系统:

图2a

图2b

如图2所示的建筑结构（图2b为图2a的简化），我们把每层四个教室看成是四个单元体教室并联系统，把走廊也看成是一个大一点的单元体，将它与并联系统串联。

则这种情况就出现了两种疏散出口：第一种是每个教室的门是一种疏散出口；第二种是把楼梯口看成一种疏散出口。

当第一种疏散出口处未发生拥塞，即时，距离疏散出口最远处到达疏散出口的时间决定了人员安全需要的时间；当疏散出口处发生拥塞，即时，人流通过出口的时间决定了人员安全疏散需要的时间。

即：

依此类推当每层有个教室时，就可提供同n门同时疏散，即有个疏散出口相互并联时，人员安全疏散需要的时间可以表示为

可见在并联系统中，疏散时间最长的节点对整个系统的疏散时间有重要的影响。

此时每层教室里的所有学生都已经逃离教室来到走廊。

我们把走廊看成是一个大的单元体，这时里面的总人数就是每层所有教室里的人数之和。

注意：我们这里假设每层教室的学生逃出教室以后都以速度v到达了楼梯口，且这之间没有堵塞，并且所有人都集中在楼梯口还没有下楼梯。这之间时间的计算我们就认为是：(这里我们忽略了人之间的距离)。

2.4串联系统：

图3

如图3所示的建筑结构是两个房间串联。位于最终房间的人员通过多个疏散出口才可到达安全区。房间1人员安全疏散需要的时间同单元体人员安全疏散的时间，

即：

房间2的疏散分两部分完成：

第一房间2的人员离开房间2，

即：

第二：房间1的人员流入房间2，当疏散出口2处未发生拥塞，即时，距离疏散出口最远处到达疏散出口的时间决定了疏散完成时间，

即：

；

当疏散出口2处发生拥塞，即时，人流通过疏散出口的时间决定了疏散完成时间，

即：

房间2人员安全疏散需要的时间为：

房间3的疏散情况与房间2相同，房间3人员安全疏散需要的时间

依此类推当最终的房间要通过个疏散出口才可以到达安全区域，既有个疏散出口相互串联时，人员安全疏散需要的时间可以表示为：

可见在串联系统中，最后一个节点的疏散时间对整个系统的疏散时间有重要的影响。

2.5举例应用:

现在考虑学校的教学楼，共五层，如图：

图3a

图3b

如图3所示的建筑结构（图3b为图3a的简化）。此时我们把每层走廊看成是一个串联的系统，且此系统中每个单元体里面的人数就是每层所有教室的人数之和。

即：

人员逃生总时间应为人员走出教室的时间、走廊上的时间、楼梯中的时间和最后经过出口的时间。

教室中的时间：△T

由于教室中的桌椅等障碍的影响，避难者的行动路线是折线运动。针对这个问题，本文提出一种按“L”型行动路线表示人员在房间中的行走情况，并用面积法计算避难者在房间出口的集结状况。如图所示：

可用面积法计算疏散开始后，经过时间T能到达房间出口的避难者人员总数。

其中：——时刻T时，能到达房间出口的避难者人员总数，人；

——房间单元的短边长度，m

——房间单元的长边长度，m

Vr——避难者在房间内的步行速度，m/s

——疏散前房间单元内的人员密度，人/m2

T——疏散开始后经过的时间，s

则在时刻（T+△T）时，在时间间隔△T内人群向房间节点R（i）的出口集结，并有部分或者全部人员流出该节点，能够集结至房间节点R（i）出口部分的人数为：

其中：△T——疏散累计计算时间间隔，s

其他时间：T

a.楼梯中不拥挤，即上层的人到达下一层楼梯口时，下一层的人已经走了。

此时：

b．楼梯中拥挤，即上层的人到达下一层楼梯口时，下一层的人还没走完。

此时：

故逃离总时间为△T+T。

3模型二：

3.1符号说明：

①L为水平通道的长度；

②V为人员的行走速度；

③N为人员的数目；

④W为楼梯有效宽度；

⑤S为楼梯的长度；

⑥R为楼梯的级高；

⑦B为楼梯的级宽；

⑧f为移动速率；

3.2人员疏散时间：

人员疏散时间是指全体人员疏散到安全出口所需的时间。人员疏散时经过不同的通道需要不同的时间。根据其特征,可以把通道分为三类:水平通道、楼梯通道和门。下面分别计算人员通过不同通道所需的时间。

（1）水平通道：水平通道是指走廊这一类的通道,这种通道一般较宽,且有一定的长度。除非很特殊的情况,人员疏散时在水平通道一般不会出现堵塞,因而人员通过水平通道的时间即等于水平通道的长度L除以人员的行走速度V,即

（1）

其中人员的行走速度V近似为1.016m/s,这是由研究人员根据统计资料得到的。

（2）楼梯：人群通过楼梯的时间和人员的数目有很大的关系,因此很难用计算人员通过水平通道时间的公式来计算。人群沿着楼梯向下疏散时,人员通过楼梯的时间t,人员的数目N和楼梯有效宽度W之间的关系如下面的公式：

（2）

而对于单个人沿楼梯向下疏散的行走时间,考虑楼梯的台阶对行走时间的影响,可由下面的公式进行计算：

（3）

其中S为楼梯的长度,R为楼梯的级高,B为楼梯的级宽。这里的速度V近似为1.2m/s。

（3）门：疏散人群通过门时,一般都会堵塞,因而人群通过门的时间计算也比较复杂,我们采用移动速率的概念来表征人群通过门的难易程度。移动速率是指单位时间单位门宽度所通过的人员的数目。因此人群通过门的疏散时间可以用下面的式子计算：

（4）

其中W为门宽度,为人数,为移动速率,由统计资料得到近似值为0.93人/s.m。

3.3疏散模型的设计方法：

疏散模型的设计思路是：疏散开始后作为疏散人员离开所在的空间,经由门、走廊、楼梯等构成的疏散通道,转移到安全的场所。为了模拟的方便,作了下面的简化处理：

（1）假设全部人员都能自己疏散出去,而且疏散人员的特征没有区别,全部具有相同的特征。实际上,由于人员的性别、年龄、身体条件的差别,疏散能力也有所不同。且要定量地描述每个人员不同的疏散能力,会使模型过于复杂，故此处作简化处理。（疏散能力差异这一因素不同，而对疏散产生的影响将在第四问中详细论述）

（2）疏散开始之前,假设全部人员分布在各个房间内。在走廊、楼梯等处,可以认为疏散开始之前人员的密度很低,可忽略不计。

（3）灾难发生后，不考虑疏散人员的反应时间。

根据上述的设计思路。疏散过程可以模拟成下面的若干步骤：

（1）疏散开始之前，人员分布在不同的房间内；

（2）某一时刻，灾难发生，所有人员开始疏散；

（3）在一个房间内的所有人员全部疏散出该房间的时间等于所有人员通过出口(门)所需的时间等于距离出口最远的人员步行走到出口所需时间中的最长的时间。有一个以上的出口时,假设人员数目根据出口的宽度均匀分配,距离出口最远的人到出口的距离为他所在的位置与出口之间的直线距离；

（4）所有人员通过门、走廊等水平通道处的速度为其正常的步行速度；

（5）最先离开房间的人总是选择最好的通道疏散到安全出口,而且在门和楼梯处都没有堵塞,通过楼梯的人总是选择最近的通道疏散到安全出口,而且在门和楼梯处都没有堵塞,通过楼梯的时间即为单个人沿楼梯向下行走的时间；

（6）最后一个离开房间的人以正常的步行速度行走到出口(门)时,如果所有人员已疏散出出口,则不计此人通过该门的时间。但如果其他人员未安全疏散出此出口(由于堵塞造成的),则需要等到全体人员疏散出此出口后,才可通过该出口。同样的情况适用于楼梯,如果最后一个人员到达楼梯时,其他人员已经疏散完,则以单个人沿楼梯下行的速度离开;而当其他人员未疏散完时,则等到其他人员疏散完后,再以单个人沿楼梯下行的速度离开此楼梯；

（7）所有人员疏散出建筑物的时间即为最后一个人离开最后一个出口,到达安全场所的时间。

设整个疏散路径可以分为n个通道(包括门、楼梯、走廊等),第一步需要利用式(1)、(2)、(3)和(4)计算出第一个人通过通道i的时间tfi和所有人员疏散出通道i的时间ti,这里i指任意通道。

第一个人疏散到安全场所的时间tf为：

任意通道疏散开始的时刻则为：

最后一个人到达任意通道时,需要判断其余人员的疏散是否已经结束。其疏散时间tli的计算方法如下：

通过水平通道：

通过楼梯：

如果

则

如果

则

通过门：

如果

则

如果

则

当门作为第一个通道时，则按下式计算：

如果则

如果则

整个疏散过程所需的时间为：

3.4实际应用：

问题一的重述：考虑学校的一座教学楼，共五层，其中每层楼有一排教室，共四间，如图：

用数学模型来分析这栋教学楼的师生疏散所用的时间。

问题一的解决：

将这栋楼分为3个通道：

第一个通道：第五层楼的走廊；

第二个通道：教学楼的楼梯；

第三个通道：教学楼的大门。

为了运用模型，可将第一个出来的人看成是五楼紧靠楼梯的教室中出来的第一个人，最后出来的人为五楼最里面的的教室中最后出来的人。

第一个人经过各通道所需的时间：

最后一个人经过各通道所需的时间：

由上可得：

即

Ⅴ.问题二：

模型一中每个单元体的疏散时间取的是平地疏散区域内的时间与疏散出口拥挤的时间中的最长的，因而在整个疏散时间中占主要部分的是拥挤时疏散所花的时间。

综上所述为了尽可能的降低整个过程中的疏散时间，应该尽量控制各人流量大的地方（如楼梯、大门等）出现拥挤的时间。

由于模型二中有具体的控制条件，这里仅以模型二为例，具体说明.在撤离时尽可能多的满足

举例说明：

一座教学楼中平均每个人数N约为50人，长L大约为9米，相邻两楼之间的楼梯长度为7.6米，宽度为1.4米，楼梯级宽为0.28米，级高为0.15米，底楼大门长w0为4.2米。由式（3）、（4）计算得到单个人员沿楼梯的步行时间为41s，所有人员疏散该楼大门的时间为256s。由上述的疏散时间计算方法得整个疏散过程所需的时间为8.86+164.00+256.00=428.87s=7.15min。

从上述的计算结果可以看出，总的安全疏散时间取决于整个疏散过程所需的时间。在上面的实例中，整个疏散过程所需的时间主要取决于人员向下的疏散时间和教学楼大门疏散能力。这是因为教学楼的大门的出口宽度和楼梯的宽度（或个数）不能满足逃生的需要。在本例中如果把出口大门的宽度增加和再添加一个楼梯，则会大大降低疏散时间，从而可以大大减少灾难发生时人员伤亡的可能性。

Ⅵ.问题三：

由上面的模型分析可知，增加疏散出口和尽量避免疏散时的拥挤是减少人员伤亡的关键。因此合理安排好建筑物内的安全出口是很重要的，那具体应怎么去安排呢？

根据模型一的分析，我们可以先看一个实际生活中的建筑布局。如图5所示的建筑结构（图5b为图5a的简化），第三层有4个房间，房间1，2，3，4的人员公用疏散楼梯sw32和sw21。设疏散时人员同时向疏散出口运动，可以看出这也是一个多个疏散出口组成的串、并联的系统，即组成的并联系统与sw32，sw21串联。根据上述模型，系统的疏散完成时间取决于sw21疏散时间。楼梯多为有该层人员和上层人员流入，人流再向下层疏散的结构，我们在计算中将流入楼梯的人数视为一个整体。由此可见改复杂系统的疏散流程分析为：

其中是楼梯21的初始人数，是楼梯21中待疏散的人数，是楼梯21的长度，sw32，sw21是单位时间内从楼梯32，楼梯内流出的人数。

由上可以看出：若教学楼建设为四周环绕型，可以使人员逃散时尽量分散，减少拥挤，楼梯出口也应对称分布，提高空间利用率。

从问题二中的举例说明可知，若把出口大门的宽度增加一倍，则所需时间为：8.86+164.00+128.00=300.86s=5.00min，时间减少（7.15-5.00）/7.15*100%=29.8%.

由此可得大门宽度增加倍数与疏散全过程所需时间减少的百分比的关系：

大门宽度增加倍数0.10.30.50.71.0

时间减少百分比5.5%13.8%19.9%24.6%29.8%

根据上面给的数据，我们粗略的用EXCEL作出了大门宽度增加的倍数与时间减少的百分比的走势。

由图我们可以很清晰的看出：门的宽度越大，疏散所用的时间就越少。这一结论与问题二中疏散时间与w/w0的图是基本一致的。

但是考虑到增加大门的宽度不太现实，所以可以考虑再建一个楼梯，这就是模型一中增加了并联的系统，这样可以减少楼梯拥挤情况，同样有助于减少整个过程疏散时间。

Ⅶ.问题四：

在前三个问题中我们一直假设所有人的运动能力是相同，而在实际生活中这种情况是绝对不可能的，并且每个人的运动能力都是不同的。考虑到个体情况的差异性，根据常识，在小学中学里，一般是年级越高的体能越大，设体能加大群体的平均运动速度为，体能较小群体的平均运动速度为

①当max()<时，此时高年级在底层能保证疏散后不堵塞楼道出口，应把高年级学生安排在底层，低年级学生安排在较高层。

②当max()<时，此时低年级学生在底层也能不堵塞楼道出口，疏散总时间为最高层疏散时间，由于高年级学生体能大速度快，故应把最高年级的学生安排在最高层，而把低年级学生安排在较低层，因为他们疏散速度慢。

注：h为两层之间楼梯的一半长。

Ⅷ.参考文献：

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