求数学大神，泛函大神。搞定。。
发表时间：2024-07-18 01:10:39
来源：网友投稿
我暂且就认为“按强算子拓扑收敛”是指强收敛，即，(T_n)x按范数收敛到Tx，对任意的x成立。（好像有一种更强的，叫依范数收敛，就是T_n-T的算子范数收敛到0；还有一种更弱的，叫弱收敛，就是(T_n)x弱收敛到Tx，对任意x。如果你所说的收敛是另外两种中的一种，请告知）
现在对任给的x（属于E)，(T_n)x收敛（就是在E_1中强收敛）到Tx，也就是||(T_n)x-Tx||（E_1中的范数）趋于0，那么（以下提到范数时，是哪个空间的，会自行明了，所以不再解释）
||(S_n)(T_n)x-STx||
=||(S_n)Tx-STx||+||(S_n)(T_n)x-(S_n)Tx||
其中第一项趋于0，因为Tx是固定的，下面说第二项，||(S_n)(T_n)x-(S_n)Tx||，为什么趋于0。
因为S_n强收敛到S，所以通过一致有界原理（也叫共鸣定理），可以说明S_n的算子范数一直有界，那么||(S_n)(T_n)x-(S_n)Tx||<=M||(T_n)x-Tx|趋于0，其中M就是||S_n||的界（这里这个||S_n||中用到的范数是L(E_1,E_2)里的范数）。
这就证完了。挺乱抱歉。你的另一个问题回答稍简单一些，但是一致有界原理仍然是关键。
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