高一数学，向量问题

向量的运算

设a=(x,y),b=(x',y')。

1、向量的加法

　　向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

　　AB+BC=AC。

　　a+b=(x+x',y+y')。

　　a+0=0+a=a。

　　向量加法的运算律:

　　交换律:a+b=b+a;

　　结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法

　　如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.

0的反向量为0

　　AB-AC=CB.

即“共同起点,指向被减”

　　a=(x,y)

b=(x',y')

则

a-b=(x-x',y-y').

4、数乘向量

　　实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。

　　当λ>0时,λa与a同方向;

　　当λ<0时,λa与a反方向;

　　当λ=0时,λa=0,方向任意。

　　当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。

　　注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。

　　实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

　　当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;

　　当∣λ∣0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。

　　数与向量的乘法满足下面的运算律

　　结合律:(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。

　　向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa.

　　数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.

　　数乘向量的消去律:①

如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b。②

如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。

3、向量的的数量积

　　定义:两个非零向量的夹角记为〈a,b〉,且〈a,b〉∈[0,π]。

　　定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a·b。若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉;若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣。

　　向量的数量积的坐标表示:a·b=x·x'+y·y'。

　　向量的数量积的运算率

　　a·b=b·a(交换率);

　　(a+b)·c=a·c+b·c(分配率);

　　向量的数量积的性质

　　a·a=|a|的平方。

　　a⊥b

〈=〉a·b=0。

　　|a·b|≤|a|·|b|。

　　向量的数量积与实数运算的主要不同点

　　1、向量的数量积不满足结合律,即:(a·b)·c≠a·(b·c);例如:(a·b)^2≠a^2·b^2。

　　2、向量的数量积不满足消去律,即:由

a·b=a·c

(a≠0),推不出

b=c。

　　3、|a·b|≠|a|·|b|

　　4、由

|a|=|b|

,推不出

a=b或a=-b。

4、向量的向量积

　　定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b。若a、b不共线,则a×b的模是:∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线,则a×b=0。

　　向量的向量积性质:

　　∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。

　　a×a=0。

　　a∥b〈=〉a×b=0。

　　向量的向量积运算律

　　a×b=-b×a;

　　(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);

　　(a+b)×c=a×c+b×c.

　　注:向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的。

向量的三角形不等式

　　1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;

　　①

当且仅当a、b反向时,左边取等号;

　　②

当且仅当a、b同向时,右边取等号。

　　2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。

　　①

当且仅当a、b同向时,左边取等号;

　　②

当且仅当a、b反向时,右边取等号。