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矩阵A有n个线性无关的特征向量，有什么意义

发表时间：2024-07-18 11:51:10 来源：网友投稿

因为A^2=A，所以A的特征值只能是0或1，且有A(A-E)=0。

所以r(A)+r(A-E)<=n。

而r(A)+r(A-E)>=r(A-A+E)=r(E)=n。

所以r(A)+r(A-E)=n。

所以AX=0的基础解系与(A-E)X=0的基础解系含(n-r(A))+(n-r(A-E))=n个向量。

这n个向量是A的分别属于特征值0与1的特征向量。

所以A有n个线性无关的特征向量。

其他性质：

线性变换转置。矩阵是线性变换的便利表达法，皆因矩阵乘法与及线性变换的合成有以下的连系：以Rn表示n×1矩阵（即长度为n的矢量）。对每个线性变换f:Rn->Rm都存在唯一m×n矩阵A使得f(x)=Ax对所有x&in;Rn。这矩阵A代表了线性变换f。今另有k×m矩阵B代表线性变换g:Rm->Rk，则矩阵积BA代表了线性变换gof。

矩阵A代表的线性代数的映像的维数称为A的矩阵秩。矩阵秩亦是A的行（或列）生成空间的维数。m×n矩阵A的转置是由行列交换角式生成的n×m矩阵Atr（亦纪作AT或tA），即Atr[i,j]=A[j,i]对所有iandj。若A代表某一线性变换则Atr表示其对偶算子。

转置有以下特性：(A+B)tr=Atr+Btr，(AB)tr=BtrAtr。注记矩阵可看成二阶张量，因此张量可以认为是矩阵和向量的一种自然推广。

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