证明级数收敛问题
发表时间：2024-07-18 21:14:55
来源：网友投稿
a[n]+a[n+2]=∫{0,π/4}(tan(x))^ndx+∫{0,π/4}(tan(x))^(n+2)dx
=∫{0,π/4}(tan(x))^n·(1+tan²(x))dx
=∫{0,π/4}(tan(x))^n·(1/cos²(x))dx
=∫{0,π/4}(tan(x))^n·(tan(x))'dx
=(tan(π/4))^(n+1)/(n+1)-(tan(0))^(n+1)/(n+1)
=1/(n+1).
因此(a[n]+a[n+2])/n=1/(n(n+1))=1/n-1/(n+1).
∑{1≤n}(a[n]+a[n+2])/n=∑{1≤n}(1/n-1/(n+1))=1.
由a[n]=∫{0,π/4}(tan(x))^ndx>0,∑a[n]/n^λ是正项级数.
又a[n]=1/(n+1)-a[n+2]<1/(n+1)<1/n,故a[n]/n^λ<1/n^(1+λ).
而当λ>0,级数∑1/n^(1+λ)收敛,根据比较判别法,∑a[n]/n^λ也收敛.
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