定积分的题
发表时间：2024-07-18 23:05:29
来源：网友投稿
这个完全可以用沃利斯公式
顺便给你推导一遍吧
设A(n)=∫(0,π/2)sinx^n
dx
则由分步积分法
A(n)=∫(0,π/2)sinx^(n-1)*sinx
dx=-cosx*sinx^n|(0,π/2)+∫(0,π/2)(n-1)sinx^(n-2)*cosx^2
dx
前面一项为0
后面一项cosx^2=1-sinx^2
则A(n)=∫(0,π/2)(n-1)sinx^(n-2)*(1-sinx^2)
dx=(n-1)∫(0,π/2)sinx^(n-2)-(n-1)∫(0,π/2)sinx^n=(n-1)A(n-2)-(n-1)A(n)
则nAn=(n-1)A(n-2)
A(n)=A(n-2)*(n-1)/n
递推公式搞定
接下来求A(1)=∫(0,π/2)sinx
dx=1
A(2)=∫(0,π/2)sinx^2
dx=∫(0,π/2)(1-cos2x)/2
dx=π/4
好了
A(4)=A(2)*3/4=3π/16
A(5)=A(3)*4/5=A(1)*2/3*4/5=8/15
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