2道初一几何题，颇有难度。高手进！有图。100分

1证明：∵四边形ABCD和四边形AEFP是正方形

∴AB=AD∠DAB=∠EAB=90°AE=AP

∴Rt△ADP≌Rt△ABE

∴∠ADP=∠EBA

∵∠ADP+∠APD=90°∠APD=∠BPH

∴∠EBA+∠BPH=90°

∴DH⊥BE2�轨迹

一、复习要点

�在第一轮的复习中，同学们已经初步掌握了求轨迹的一些基本方法，但比较零散．本节我们将系统地研究求轨迹的基本方法，使同学们能根据曲线上点的性质，选择恰当的方法求出轨迹方程．

�1�本节的主要内容是求轨迹方程的几种基本方法——直译法、定义法、待定系数法、动点转移法、参数法．其重点是直译法、动点转移法和参数法；难点是坐标系的选择、参数法中参数的选择及轨迹方程所表示曲线的“完备性”和“纯粹性”．

�2�轨迹问题是解析几何研究的主要内容之一，因而也成为高考命题的热点．1999年以此作为压轴题．

�3�在本节复习中，应理解和掌握如下求轨迹方程的五种基本方法：（1）直译法�若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则只需直接把这种关系“翻译”成动点的坐标x、y（或ρ、θ）的方程，经化简所得同解的最简方程，即为所求轨迹的方程．其一般步骤为：建系—设点—列式—代换、化简—检验．

（2）定义法�当动点满足的条件符合某种特殊曲线的定义时，则可根据这种曲线的定义建立方程．

（3）待定系数法�当已知动点的轨迹是某种圆锥曲线，则可先设出含有待定系数的方程，再根据动点满足的条件，确定待定系数，从而求得动点的轨迹方程．

（4）动点转移法�即就是当动点P（x,y）或�P（ρ，θ）�随着另一动点Q（x1，y1）或Q（ρ�1，θ�1）的运动而运动，而动点Q在某已知曲线上，若Q点的坐标可用点P的坐标表示，则可代入动点Q所在已知曲线的方程中，求得动点P的轨迹方程．求对称曲线方程也常用此法．

（5）参数法�当动点P的坐标x、y之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量t，并用t表示动点的坐标x、y，从而得动点轨迹的参数方程

x＝f（t），

y＝g（t），

消去参数t，便可得动点P的轨迹的普通方程．应注意方程的等价性，即由t的范围确定出x、y的范围．

二、例题讲解

例1椭圆的方程为（x2／a2）＋（y2／b2）＝1，A1、A2分别是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上任一点，引A1Q⊥A1P，A2Q⊥A2P.

设A1Q与A2Q相交于点Q，求Q点的轨迹方程．

讲解：因Q点随P点的运动而运动，而P点在已知椭圆上，故可用动点转移法求解．

思路1．设Q（x，y）、P（x1，y1），如图8-4，A1的坐标为（－a，0），A2的坐标为�（a，0）．

图8-4

∵点P（x1，y1）在椭圆（x2／a2）＋（y2／b2）＝1上，

∴（x12／a2）＋（y12／b2）＝1．①

欲求Q点的轨迹方程，只须将点P的坐标用点Q的坐标表示．为此，

须寻求x1、y1与x、y之间的关系．

∵A1Q的方程为y＝－（x1＋a）／y1（x＋a），②

A2Q的方程为y＝－（x1－a）／y1（x－a），③�

即�y1y＝－x1x－ax－ax1－a2，④

y1y＝－x1x＋ax＋ax1－a2，⑤

联立④⑤，解得x1＝－x．⑥

由①得x12＝a2（1－（y12／b2））．⑦

将④⑤代入A1Q的方程，得

y＝（x12－a2）／y1＝（－（a2／b2）y12）／y1＝－（a2／b2）y1.

∴y1＝－（b2／a2）y．⑧

将⑥⑧代入①，并整理，得

（x2／a2）＋（b2y2）／a4＝1．�

这就是Q点的轨迹方程．

以上是将两个参数x1、y1逐一消去，实际上还可整体消参.②×③，得

y2＝（（x12－a2）／y12）（x2－a2）．

把y12＝（b2／a2）（a2－x12）代入便可将参数一次消去．

思路2．因动点Q的位置由动点P的位置确定，而动点P的位置与其对应的离心角有关，故可选点P的离心角θ为参数，建立点θ的轨迹的参数方程．

设点P的坐标为（Acosθ，Bsinθ），点Q的坐标为（x，y），则

直线A1Q的方程为

y＝－（a（cosθ＋1）／Bsinθ）（x＋a），①

直线A2Q的方程为

y＝－（a（cosθ－1）／Bsinθ）（x－a）.②

①×②，消去θ，得

y2＝（a2（cos2θ－1）／（b2sin2θ）（x2－a2）

�＝－（a2／b2）（x2－a2），

即�（x2／a2）＋（b2y2）／a4＝1．

这就是所求Q点的轨迹方程．

思路2用参数法求Q点的轨迹方程，

在消参数时整体处理，化繁为简，请同学们注意这种整体消参的思想．

例2如图8-5，给出定点A（a,0）（a＞0）和直线l:x=-1,B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示曲线类型与a值的关系．

图8-5

讲解：思路1�动点C的运动受两个条件的限制：一是随点B在l上的运动而运动，二是要满足∠AOC=∠COB.条件较多，坐标之间的关系不易直接建立，故可考虑选取中间变量即参数，将符合每一条件的方程列出，再联立各方程，消去参数得点C轨迹的普通方程．�

设点B的坐标为（-1，t）�（t∈R），则直线OA、OB的方程分别为y=0和y=-tx.设点C（x,y）,则有0≤x＜a,由OC平分∠AOB，得｜y｜=（｜y+tx｜／）.①�

又点C在直线AB上，�

∴y=-（t／1+a）（x-a）.②�

∵x-a≠0，∴t=-（（1+a）／x-a）y.③�将③代入①，得�

y2〔1+（（1+a）2y2／（x-a）2）〕=〔y-（（1+a）xy／x-a）〕2.�

整理得�

y2〔（1-a）x2-2ax+（1+a）y2〕=0.�

若y≠0,则（1-a）x2-2ax+（1+a）y2=0（0＜x＜a）;�

若y=0,则b=0,∠AOB=π，点C的坐标为（0，0），满足上式．�

综上得点C的轨迹方程为�

（1-a）x2-2ax+（1+a）y2=0（0≤x＜a）.④�

（i）当a=1时，轨迹方程为y2=x（0≤x＜1）,此时方程表示抛物线弧段;�

（ii）当a≠1时，轨迹方程化为（（x-（a／1-a））2／（（a／1-a））2）+（y2／（a2／1-a2））=1（0≤x＜a）,

∴当0＜a＜1时，方程表示椭圆弧段；

当a＞1时，方程表示双曲线一支的弧段．

思路2�若设l与x轴的交点为D，过点C作CE⊥x轴，垂足为E，则可由∠AOC与∠BOD的关系2∠AOC=π-∠BOD，用直接法即求得动点轨迹的方程．请同学们自己试做．�

本例思路1中所得方程①、②即为点C轨迹的参数方程，这种参数方程称为“隐参数方程”，联立消参便可得普通方程．对方程④表示的曲线应注意分类讨论．

例3�已知两定点A、B，且｜AB｜＝2a�（a∈R＋）．

（1）若动点M与A、B构成直角三角形，求直角顶点M的轨迹方程；

（2）若动点M满足条件∠MBA＝2∠MAB，求点M的轨迹方程．

讲解：题设条件中没有给出坐标系，故应先考虑选择适当的坐标系，再用动点满足的几何条件用直译法求解．

因A、B为两个定点，故取AB所在的直线为x轴，注意到对称性，取AB的中点O为原点建立平面直角坐标系，如图8-6所示．于是A、B两点的坐标分别为（－a，0）、（a，0）．

图8-6

（1）设点M的坐标为（x，y），则动点M属于集合P＝｛M｜AM⊥MB，且M不在直线AB上｝．

由AM⊥MB，得｜AM｜2＋｜MB｜2＝｜AB｜2，即

＝（2a）2，且y≠0．①

化简得x2＋y2＝a2（y≠0）．②

或者由AM⊥MBkMA•kMB＝－1，得

y／（x＋a）•y／（x－a）＝－1，③

化简得x2＋y2＝a2（x≠±a）．④

（2）设∠MAB＝α，∠MBA＝β，则点M属于集合P＝｛M｜β＝2α｝．⑤

考虑到�tgβ的存在性，以下需分Ⅰ、Ⅱ两种情况讨论．

Ⅰ．∵当β≠（π／2）时，有�tgβ＝tg2α．⑥

而0≤α＋β＜π�，β＝2α�，∴0≤α＜（π／3）．

又由α＜β知�x＞－a．⑦

根据点M与x轴的相对位置，以下又可分为（i）、（ii）两种情形：

（i）当y≥0时，tgα＝kMA＝y／（x＋a）�（x≠－a），�

�tgβ＝－tg（π－∠xBM）＝－kMB＝y／（a－x）�（x≠a）．�

�由tgβ＝tg2α，得y／（a－x）＝（2•（y／（x＋a）／1－（（y／x＋a））2），⑧

整理得y（3x2－y2＋2ax－a2）＝0．⑨

（ii）当y＜0时，同理可得上式．

Ⅱ．又x＝a时，tgβ不存在，但β＝（π／2），依题意只要α＝（π／4），M仍为所求轨迹上的点．

∵1＝tg�（π／4）＝tgα＝±y／（x＋a）＝±（y／2a），

∴y＝±2a，

∴点（a，±2a）在所求的轨迹上．

容易验证点（a，2a）与（a，－2a）的坐标都满足方程⑨，故所求点M的轨迹方程为

y＝0（－a＜x＜a）或3x2－y2＋2ax－a2＝0（x＞－a）．

从本题的解答过程可以看到，用直译法求曲线（轨迹）方程时，其步骤中的第（5）步可以省略不写，但要下结论“最简方程就是所求曲线（轨迹）方程”，仍需验证曲线的方程定义中的两条，以保证轨迹的纯粹性与完备性．如在本题的解答过程中的①和②是同解变形，所得到的最简方程就是所求轨迹的方程．而从⑧到⑨中，若约去y，则将会丢掉线段AB（不含端点），则轨迹就不完备．又如从方程③到④不是同解变形，这时需对x的范围加以限制，即x≠±a，去掉增解，以保证轨迹的纯粹性．又如从⑤到⑥，当β＝（π／2）时，不能得到⑥，故应对β＝（π／2）加以验证，经检验当β＝（π／2）时所对应的点A（a，±2a）在所求的轨迹上已包含在方程⑨中．解题中不可忽视题目隐含的条件，如本例（1）中的M与A、B构成三角形，M不在AB上，须加限制条件y≠0，又如（2）中的限制条件⑦．否则将会破坏轨迹的纯粹性与完备性．

三、专题训练

1�一动圆与两圆x2＋y2＝1，x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是（）．

A．抛物线

��B．双曲线

C．双曲线的一支

��D．椭圆

2�若-｜x-y+3｜=0，则点M的轨迹是（）．

A．圆

��B．椭圆

��C．抛物线

��D．双曲线

3�设A1、A2是椭圆（x2／9）＋（y2／4）＝1长轴的两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为（）．

�A．（x2／9）＋（y2／4）＝1

�B．（y2／9）＋（x2／4）＝1

C．（x2／9）－（y2／4）＝1

��D．（y2／9）－（x2／4）＝1

�4�过P（1，2）任作一直线l交x轴于A，过Q（2，－3）作l的垂线交y轴于B，点C分线段AB为定比2，则点C的轨迹为（）．

图8-7

�A．6x＋3y＋4＝0

�B．6x＋3y－4＝0

�C．6x－3y＋4＝0

�D．6x－3y－4＝0

5�倾斜角为（π／4）的直线交椭圆（x2／4）＋y2＝1于A、B两点，则线段AB的中点M的轨迹方程是_________．

6�设P是以F1、F2为焦点的双曲线（x2／16）－（y2／9）＝1上的动点，则△F1F2P的重心的轨迹方程是_________．

7�△ABC中，若B（－（a／2），0），C（（a／2），0），且sinC－sinB＝（1／2）sinA，则顶点A的轨迹方程是_________．

8�求经过定点A（1，2），以y轴为准线，离心率为（1／2）的椭圆左顶点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

9�过点A（0，a）的动直线和圆（x－2）2＋y2＝1相交于B（x1，y1）和C（x2，y2）两点，且x1＜x2，点P在线段BC上，满足（｜PB｜／｜PC｜）＝（｜AB｜／｜AC｜），求点P的轨迹方程．

10．已知定直线l1：y＝kx，l2：y＝－kx（k为非零常数），定点A（1，0），P是位于∠MON内部的动点（图8-8），过A作l1、l2的两条平行线与射线OP分别交于Q、R点，且有关系：｜OP｜2＝｜OR｜•｜OQ｜．