求助高二数学…大家帮帮忙

设数列an满足a1+3a2+3^2a3+…+3^(n-1)an=n/3，n属于正整数集。

（1）求数列an的通项.

(2)设bn=n/an.求数列bn的前n项和Sn.

结果：

an=1/(3^n)

bn=n*(3^n)

Sn=(3/4)*(n*3^(n+1)-(n+1)*3^n+1)

(1)（第一步是跟前面那边篇的第一步一样，因为第一个题目没有看错啊，呵呵）

方法一：

a1+3a2+3^2a3+…+3^(n-1)an=n/3

当n=1时，

a1=1/3

n=2时，

a1+3a2=2/3

a2=1/9

......

an=1/(3^n)

验证：

把an=1/(3^n)代入到

a1+3a2+3^2a3+…+3^(n-1)an=n/3中

1/3+3*(1/9)+3^2*(1/3^3)+...+3^(n-1)*(1/3^n)=

1/3+1/3+1/3+...+1/3=n/3

成立。

方法二：

a1+3a2+3^2a3+…+3^(n-1)an=n/3

a1+3a2+3^2a3+…+3^(n-2)a(n-1)=(n-1)/3(比较上式少一项)

所以(n-1)/3+3^(n-1)an=n/3

所以3^(n-1)an=1/3

an=1/3^n

(2)（第二步，方法一跟前一篇第二步的方法思想一样，用高数微积分的方法，方法二是高中数学做这种题目，常用的方法，拼凑出列项相消来的。）

方法一：(高等数学，微积分法)

bn=n/an=n*3^n

Sn=E(bn)=b1+b2+b3+...+bn

bn=n*3^n=3*n*3^(n-1)

令kn(x)=n*x^(n-1),对x积分得

Kn(x)=x^n,

E(Kn(x))=[1-x^(n+1)]/[1-x]

所以

E[kn(x)]=[E(Kn(x))]'('为求导号，表示对[E(Kn(x))]求导数。)

=[-(n+1)*x^n*(1-x)+1-x^(n+1)]/[(1-x)^2]

=[n*x^(n+1)-(n+1)*x^n+1]/(1-x)^2

令x=3,代入上式

所以

Sn=3E[kn(3)]

=3/4*[n*3^(n+1)-(n+1)*3^n+1]

验证：

n=1

S1=3/4*[9-2*3+1]=3S1=b1=3

n=2

S2=3/4*[2*27-3*9+1]=21S2=b1+b2=3+2*9=21

n=3

S3=3/4*[3*81-4*27+1]=3/4*[5*27+1]=136*3/4=34*3=102S3=S2+b3=21+3*27=21+81=102

方法二:(高中数学，逆向展开，列项相消)

Sn=b1+b2+...+b(n-1)+bn

S(n-1)=b1+b2+...+b(n-1)

Sn-S(n-1)=bn=n*3^n(将n*3^n展开成A(n)-A(n-1)的形式)

n*3^n

=3/4*[n*3^(n-1)*4]4=(3-1)^2=(3^2-2*3+1)

=3/4*[n*3^(n-1)*(3^2-2*3+1)]

=3/4*[n*3^(n+1)-2n*3^n+n*3^(n-1)]2n*3^n=(n+1)*3^n+(n-1)*3^n

=3/4*[n*3^(n+1)-(n+1)*3^n-(n-1)*3^n+n*3^(n-1)]

令A(n)=n*3^(n+1)-(n+1)*3^n

则A(n-1)=(n-1)*3^n-n*3^(n-1)

所以

Sn-S(n-1)=3/4*[A(n)-A(n-1)]

S(n-1)-S(n-2)=3/4*[A(n-1)-A(n-2)]

...

S2-S1=3/4*[A2-A1]=3/4*[2*3^3-3*3^2-3^2+2*3]

上式相加得：

Sn-S1=3/4*[A(n)-A1]=3/4*[n*3^(n+1)-(n+1)*3^n-3]

S1=3;

所以

Sn=3/4*[n*3^(n+1)-(n+1)*3^n-3]+3

=3/4*[n*3^(n+1)-(n+1)*3^n+1]