如何学好集合

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浅谈高一学生如何学好集合

北师大昆明附中（高一）崔雷

摘要：集合是高一学生接触的第一个数学概念，学生能否学好集合，将直接影响学生进一步学习高中数学知识的兴趣。由于集合概念的抽象性，而高一学生的数学思维还不完善，尤其是抽象性思维，因此学生在学习集合时存在很多问题。本文根据笔者所带高一七班的实际情况，结合学生的课后作业、试卷及课后调查中出现的易错题，总结学生学习集合时存在的问题，提出几个注意点，从而让学生尽快适应高中数学，学好集合。关键词：集合高一学生注意点学好集合

一、注意利用韦恩图

韦恩图是集合特有的，它是将一部分抽象的集合问题转化为具体问题的重要工具．

例1．某校高二（1）班有学生50人，参加数学小组的有25人，参加英语小组的有32人，求既参加数学小组又参加英语的人数的最大值与最小值．

解析：设既参加数学小组又参加英语的有x人，如右图，仅参加数学小组的人数为x25，仅参加英语小组的人数为x32，至少参加一项的人数为

xxxx57)32()25(．

2

∴



,5057,032,025xxx解得7≤x≤25．因此两个小组都参加的人数的最大值为25，最小值为7．

二、注意集合语言的转化

数学语言具有高度的准确性、精练性，表达方式也具有多样性，用集合方式进行表达也是常规表达方式之一，求解时必需注意集合语言的转化．

例2．已知两集合}042|),{(222nnyyxyxA，

}094946|),{(2222nmnymyyxyxB，其中Rnm,．求点),(nm的集

合C，使BA为单元素集．

解析：由BA为单元素集，可知两圆4)(22nyx与

9)2()3(22nymx相外切或内切，此时有23)2()3(22nnm，或

23)2()3(22nnm，即92522

nm，或9

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22nm．故集合925|),{(22

nmnmC，或}9

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22nm．三、要注意空集的两重性

空集具有元素的性质,也有集合的属性,所以空集有两重性．

例3．已知下列关系式：①；②0{,1,}2；③{}；④{}．其中正确的有（）

A．4个B．3个C．2个

D．1个

分析：如果从“空集是任何集合的子集”这一角度考虑,可以得出①②正

50

x32

x

25

x

3

确；如果将{}看成非空集合,则又可得出③正确．故选B项．

四、要注意空集的存在性

例4．设集合{|2Mx≤x≤5},{|1Nxa≤x≤21}a,若NM,求实数a的取值范围．

错解：由NM,得121,12,215,aaaa



解得：2≤a≤3．

分析：忽视了M,即“空集是任何集合的子集”的情况．当N时,显然也有NM．所以有正解：

当N时,由NM,∴121,12,215,aaaa



解得：2≤a≤3．

当N时,1a＞21a,解得a＜2．综上,a≤3．

五、要注意分清集合的代表元素

根据元素的确定性,集合中的元素都有确定的含义．对于用描述法给定的集合,要弄清楚它的代表元素有何属性（如表示数集、点集等）,这是集合问题中解题的关键．例如,对于三个集合

2{|21}Axyxx,2{|21}Byyxx,{(Cx,)|y221}yxx,不仔细辨

别,就会误认为这三个集合是相同的．实际上,在集合A中,代表元素x表示抛物线221yxx上任意一点的横坐标,集合A即221yxx中x的范围；在集合B中,代表元素y表示抛物线221yxx上任意一点的纵坐标,集合

4

B即221yxx中y的范围；而在集合C中,代表元素是实数对(x,)y,它表

示的是点,所以集合C是由抛物线221yxx上的点组成的集合．

六、要注意集合元素的互异性

集合中元素有三个性质,在此,提醒同学们注意的是元素的互异性．例5．若{1A,3,}a,{1B,22aa},且BA,求a的值．

错解：当223aa时,2230aa,则3a或1a；当22aaa时,

230aa,则0a或3a．∴0a或3a或1a．

分析：错解虽然注意了集合元素的无序性,但忽视了集合元素的互异性．当集合中有字母时,在根据已知条件求出该字母的值后,一定要检验原集合中元素是否具备互异性．当3a时,集合A中元素a与3不满足互异性,故应舍去．本题正确答案为0a或1a．