求证sinx=x只有一实根
发表时间：2024-07-19 13:52:23
来源：网友投稿
1）直接证明.
可设函数f(x)＝sinx-x,则f'(x)＝cosx-1[f'(x)表示求导],
因cosx≤1,所以f'(x)≤0,那么f(x)在(-∞,+∞)内单调递减,其图像与x轴仅有一个交点,故方程sinx-x＝0（即sinx＝x）只有一个实根x＝0.
[注：虽然f(x)不是“严格单减”,但其驻点----即x＝2kπ,k∈Z----都是离散的,所以f(x)不可能在x的某一个邻域(x-△,x+△)内为恒值,当然也就不可能在x＝0的邻域(0-△,0+△)内恒为0.]
（2）反证法.
设方程sinx-x＝0至少有两个根,且相邻的两根为x1,x2（不妨设x1＜x2）,由于f(x)＝sinx-x是连续可导函数,那么在(x1,x2)内必有一个极值点x3,因此在区域(x1,x3)或(x3,x2)必存在“单调递增”区域,这与f'(x)＝cosx-1≤0矛盾,所以方程sinx-x＝0仅有一个实根x=0
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