正交矩阵的特征值为什么是1或负1
发表时间：2024-07-19 17:38:24
来源：网友投稿
原因如下：
设λ是正交矩阵A的特征值，x是A的属于特征值λ的特征向量。
即有Ax=λx，且x≠0。
两边取转置得x^TA^T=λx^T。
所以x^TA^TAx=λ＾2x^Tx。
因为A是正交矩阵，所以A^TA=E。
所以x^Tx=λ＾2x^Tx。
由x≠0知x^Tx是一个非零的数。
故λ＾2=1。
所以λ＝1或－1。
正交矩阵的相关定理：
1、在矩阵论中，实数正交矩阵是方块矩阵Q，它的转置矩阵是它的逆矩阵，如果正交矩阵的行列式为＋1，则称之为特殊正交矩阵。
2、方阵A正交的充要条件是A的．行（列）向量组是单位正交向量组。
3、方阵A正交的充要条件是A的n个行（列）向量是n维向量空间的一组标准正交基。
4、A是正交矩阵的充要条件是：A的行向量组两两正交且都是单位向量。
5、A的列向量组也是正交单位向量组。
6、正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。
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