高等数学微积分
发表时间：2024-07-19 23:51:11
来源：网友投稿
积分域D是直线x=2，y=1与坐标轴围成的矩形。
x=2化为极坐标是r=2sect，y=1化为极坐标是r=csct。
被积函数化为极坐标是
rcostrsintr^2[(cost)^2-(sint)^2]/r^6
=(1/2)sin2tcos2t/r^2=(1/4)sin4t/r^2
原二重积分变换为极坐标表示为
I=∫dt∫(1/4)(sin4t/r^2)r^2sintdr
+∫dt∫(1/4)(sin4t/r^2)r^2sintdr
=(1/4)∫sin4tsintdt∫dr
+(1/4)∫sin4tsintdt∫
=(1/2)∫(sin4tsint/cost)dt+(1/4)∫sin4tdt
=2∫cos2t(sint)^2dt+(1/16)[cos4t]
=∫cos2t(1-cos2t)dt+(1/16)(1+7/25)
=∫[cos2t-(cos2t)^2]dt+2/25
=∫[cos2t-1/2-(1/2)cos4t]dt+2/25
=(1/2)[sin2t-t-(1/4)sin4t]+2/25
=7/25-(1/2)arctan(1/2)+2/25=9/25-(1/2)arctan(1/2)
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