什么是莫比乌斯圈

在科技馆的展厅里有一个名叫“三叶纽结”的展品.它高12米,整体宽度10米,由三条宽1.65米的带形成的一根三棱柱经过三次盘绕,将其一端旋转120°后首尾相接构成.它实际上是由“莫比乌斯带”演变而成的.

曾作过著名数学家高斯助教的莫比乌斯在1858年与另一位数学家各自独立发现了单侧的曲面,其中最闻名的是“莫比乌斯带”.如果想制作这种曲面,只要取一片长方纸条,把一个短边扭转180°,然后把这边跟对边粘贴起来,就形成一条“莫比乌斯带”.当用刷子油漆这个图形时,能连续不断地一次就刷遍整个曲面.如果一个没有扭转过的带子一面刷遍了,要想把刷子挪到另一面,就必须把刷子挪动跨过带子的一条边沿.

“莫比乌斯带”有点神秘,一时又派不上用场,但是人们还是根据它的特性编出了一些故事,据说有一个小偷偷了一位很老实农民的东西,并被当场捕获,将小偷送到县衙,县官发现小偷正是自己的儿子.于是在一张纸条的正面写上：小偷应当放掉,而在纸的反面写了：农民应当关押.县官将纸条交给执事官由他去办理.聪明的执事官将纸条扭了个弯,用手指将两端捏在一起.然后向大家宣布：根据县太爷的命令放掉农民,关押小偷.县官听了大怒,责问执事官.执事官将纸条捏在手上给县官看,从“应当”二字读起,确实没错.仔细观看字迹,也没有涂改,县官不知其中奥秘,只好自认倒霉.

县官知道执事官在纸条上做了手脚,怀恨在心,伺机报复.一日,又拿了一张纸条,要执事官一笔将正反两面涂黑,否则就要将其拘役.执事官不慌不忙地把纸条扭了一下,粘住两端,提笔在纸环上一划,又拆开两端,只见纸条正反面均涂上黑色.县官的毒计又落空了.

现实可能根本不会发生这样的故事,但是这两个故事却很好地反映出“莫比乌斯带”的特点.

“莫比乌斯带”在生活和生产中已经有了一些用途.例如,用皮带传送的动力机械的皮带就可以做成“莫比乌斯带”状,这样皮带就不会只磨损一面了.如果把录音机的磁带做成“莫比乌斯带”状,就不存在正反两面的问题了,磁带就只有一个面了.

莫比乌斯带是一种拓扑图形,什么是拓扑呢?拓扑所研究的是几何图形的一些性质,它们在图形被弯曲、拉大、缩小或任意的变形下保持不变,只要在变形过程中不使原来不同的点重合为同一个点,又不产生新点.换句话说,这种变换的条件是：在原来图形的点与变换了图形的点之间存在着一一对应的关系,并且邻近的点还是邻近的点.这样的变换叫做拓扑变换.拓扑有一个形象说法——橡皮几何学.因为如果图形都是用橡皮做成的,就能把许多图形进行拓扑变换.例如一个橡皮圈能变形成一个圆圈或一个方圈.但是一个橡皮圈不能由拓扑变换成为一个阿拉伯数字8.因为不把圈上的两个点重合在一起,圈就不会变成8.

“莫比乌斯带”正好满足了上述要求.