数学上的群域环等有什么区别和联系

发表时间：2024-07-20 07:52:14 来源：网友投稿

1、群(group)是两个元素作二元运算得到的一个新元素，需要满足群公理(groupaxioms)，即：

①封闭性：a∗bisanotherelementintheset

②结合律：(a∗b)∗c=a∗(b∗c)

③单位元：a∗e=aande∗a=a

④逆元：加法的逆元为-a，乘法的逆元为倒数1/a，…(对于所有元素)

⑤如整数集合，二次元运算为加法就是一个群(封闭性是显然的，加法满足结合律，单位元为0，逆元取相反数-a)。

2、环(ring)在阿贝尔群(也叫交换群)的基础上，添加一种二元运算·(虽叫乘法，但不同于初等代数的乘法)。一个代数结构是环(R,+,·)，需要满足环公理(ringaxioms)，如(Z,+,⋅)。环公理如下：

①(R,+)是交换群

封闭性：a+bisanotherelementintheset

结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

单位元：加法的单位元为0，a+0=aand0+a=a

逆元：加法的逆元为-a，a+(−a)=(−a)+a=0(对于所有元素)

交换律：a+b=b+a

②(R,·)是幺半群

结合律：(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)

单位元：乘法的单位元为1，a⋅1=aand1⋅a=a

③乘法对加法满足分配律Multiplicationdistributesoveraddition

3、域(Field)在交换环的基础上，还增加了二元运算除法，要求元素(除零以外)可以作除法运算，即每个非零的元素都要有乘法逆元。

由此可见域是一种可以进行加减乘除(除0以外)的代数结构，是数域与四则运算的推广。整数集合不存在乘法逆元(1/3不是整数)，所以整数集合不是域。有理数、实数、复数可以形成域，分别叫有理数域、实数域、复数域。

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