如何证明三点一线

发表时间：2024-07-21 22:48:56 来源：网友投稿

总结一下方法吧……

第一大类：纯几何

①原始定义：证明ABC（依次排列，B在AC之间）三点共线，只证∠ABC=180°或者AC=AB+BC。

这个很好理解。

衍生出方法：1.外面还有D点，而且DB⊥AB且DB⊥CB则ABC三点共线

2.对顶角相等的逆定理

3.楼上说的反证法

……很多，具体碰到题再随机应变吧。

②线段比值法：著名的梅涅劳斯定理（逆定理）

详见百度百科。

③用已知定理。数学里面有很多定理是用来证明三点共线的，比如欧拉线定理、西姆松定理、帕斯卡定理……只要看题目里面的情境是不是符合这些定理成立的条件。

第二大类：解析几何——平面向量

证明向量AB和向量BC平行（即AB向量=αBC向量，α是非零实数），当然也可以证明向量AC和BC，AB和AC共线……

衍生方法：①证明AB、BC共用同一个法向量n即n·AB=n·AC=0②证明AB·BC（点乘）=|AB|·|AC|或-|AB||AC|。③相对来说稍微高深一点的：另外找一点D，如果向量DB可以写成

a向量DA+(1-a)向量DC这种形式，则ABC三点共线。就用上述AB向量=αBC向量这个条件，把AB换成DB-DA，BC换成DC-DB带进去就得到。

第三大类：解析几何——方程

证明A、B、C三个点坐标满足同一个直线方程y=kx+b（当然直线也可能时其他形式，比如Ax+By+C=0）

衍生方法：可以证明AB直线斜率等于BC斜率……

暂时只能想到这么多，毕竟很久没做中学数学了。

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