高数大一题
发表时间：2024-07-22 03:46:06
来源：网友投稿
假设长方体的长为x，宽为y，高为z，那么表面积为6。根据长方体表面积公式，我们可以写出：
2(xy+xz+yz)=6
要使长方体的体积V=xyz最大，我们需要使用拉格朗日乘数法来解决这个约束优化问题。我们可以将上述公式化简为：
xy+xz+yz=3
定义拉格朗日函数：
L(x,y,z,λ)=xyz+λ(xy+xz+yz-3)
对L分别对x,y,z求偏导数，并令偏导数等于0：
∂L/∂x=yz+λ(y+z)=0
∂L/∂y=xz+λ(x+z)=0
∂L/∂z=xy+λ(x+y)=0
解这个方程组，我们可以得到x=y=z和λ的值。根据对称性长宽高相等的情况下体积最大。将x=y=z代入约束方程xy+xz+yz=3，我们得到：
3x^2=3
x^2=1
x=1
因此长宽高都等于1时，长方体的体积最大。在这种情况下，体积V=111=1。
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