极限思想有什么应用

极限思想应用五例

唐永

利用极限思想处理某些数学问题往往能化难为易。

引例

两人坐在方桌旁，相继轮流往桌面上平放一枚同样大小的硬币。当最后桌面上只剩下一个位置时，谁放下最后一枚，谁就算胜了。设两人都是高手，是先放者胜还是后放者胜？（G·波利亚称“由来已久的难题”）

G·波利亚的精巧解法是“一猜二证”：

猜想（把问题极端化）

如果桌面小到只能放下一枚硬币，那么先放者必胜。

证明（利用对称性）

由于方桌有对称中心，先放者可将第一枚硬币占据桌面中心，以后每次都将硬币放在对方所放硬币关于桌面中心对称的位置，先放者必胜。

从波利亚的精巧解法中，我们可以看到，他是利用极限的思想考察问题的极端状态，探索出解题方向或转化途径。

极限思想是一种重要的数学思想，灵活地借助极限思想，可以避免复杂运算，探索解题新思路，现举五例说明极限思想的应用。

例1

已知0<x<y<a<1，则有（

）

（A）

（B）

（C）

（D）

（02年高考）

分析

当

时，由题意

，此时

，故可排除（A）、（B），当

时，由题意

，此时

，则

，排除（C），故选（D）

例2

给出下列图象

其中可能为函数

的图象是

。

分析

这道模拟试题得分率很低，许多学生做这道题时感到无从下手，通过与部分学生访谈知道，大部分学生都是猜想结果，虽然有一些学生想到求函数的导数

，但仍然不知如何处理。其实这道题若从极限角度考虑，问题便迎刃而解。当

时，

时图象是上升的，排除④，再令a=b=c=0，y’>0不是恒成立的，排除②，选①③。

例3

已知数列{a

n

}中，a

1

=1，且对于任意正整数n，总有

，是否存在实数a，b，能使得

对于任意正整数n恒成立？若存在，给出证明；若不存在，说明理由。

分析

极限思想：

如果这样的

，b存在的话，则

由

，

对

两边取极限得

，

解得

若

0，则数列{

}应该是以1为首项，以

为公比的等比数列。

可知

，

显然

，不合题意舍去；

若

，将

代入

，可求得b=-3，

此时

，

同样验证

亦可得出矛盾。

因此满足题意的实数

，b不存在。

例4

正三棱锥相邻两侧面所成的角为

，则

的取值范围是（

）

分析

如图1所示，正三棱锥S-ABC中，

是过底面正三角形ABC中心且垂直于底面的垂线段。当

时，相邻两个侧面的夹角趋近于

，当

时，正三棱锥无限接近一个正三棱柱，显然相邻两个侧面的夹角无限接近

，故正三棱锥相邻两个侧面所成角的取值范围为（

），故选（D）。

例5

已知长方形的四个顶点A（0，0）、B（2，0）、C（2，1）和D（0，1），一个质点从AB的中点P

0

沿与AB夹角为

的方向射到BC上的点P

1

后，依次反射到CD、DA和AB上的点P

2

、P

3

和P

4

（入射角等于反射角），设点P

4

的坐标为（x

4

，0），若1<x

4

<2，则

的取值范围是（

）

分析

如图2，显然当P

1

为BC中点时，则P

2

、P

3

和P

4

依次是CD、DA和AB的中点，故

是一个极限值，选（C）。