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为什么样本方差n

发表时间：2024-07-23 10:40:27 来源：网友投稿

样本方差在计算时为什么要除以 n - 1 而不是 n，这是因为我们希望得到的方差估计值能够尽可能接近总体方差的真实值。当我们从总体中随机抽取样本时，由于样本均值通常会与总体均值有所不同，这种差异会导致样本数据之间的变异程度被低估。为了修正这种偏差，我们需要对样本方差进行校正，这就是为什么我们要用 n - 1 来代替 n 的原因。

样本方差的计算公式

样本方差的计算公式是每个样本值与样本均值之差的平方的平均值。具体来说如果我们有一个样本数据集 {x1, x2, ..., xn}，其对应的样本均值为 (bar{x})，那么样本方差 s^2 可以通过以下公式计算得出：

[ s^2 = frac{sum_{i=1}^{n} (x_i - bar{x})^2}{n - 1} ]

其中(sum) 表示求和，(x_i) 是第 i 个样本值，(n) 是样本大小。

偏差校正

当我们使用样本方差来估计总体方差时，我们希望这个估计值尽可能准确。由于样本均值与总体均值之间可能存在差异，这会导致样本数据之间的变异程度被高估或低估。为了消除这种偏差，我们需要对样本方差进行校正。

Bessel's Correction

Bessel's Correction 是一种用于校正样本方差的方法，它通过将分母从 n 改为 n - 1 来减少估计偏差。这种方法基于一个假设：

样本均值是总体均值的一个无偏估计。因此如果我们使用 n - 1 来计算样本方差，我们可以得到一个无偏的总体方差估计。

无偏估计的重要性

无偏估计意味着估计值的期望值等于总体参数的真实值。在统计学中我们通常更倾向于使用无偏估计器，因为它们提供了更稳定和可靠的估计。通过使用 n - 1 来计算样本方差，我们确保了即使样本均值与总体均值存在差异，我们的方差估计也不会系统性地偏离真实值。

总结

样本方差除以 n - 1 而不是 n 的原因是出于偏差校正的考虑。这样做可以确保我们得到的样本方差是一个无偏估计，即它的期望值等于总体方差的真实值。这种校正是 Bessel's Correction 的一部分，它帮助我们在使用样本数据来估计总体参数时，获得更加准确和可靠的结果。

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