八省联考数学试题解读

数学这次模拟演练试卷命题质量高，创新点多，亮点多，在多角度、多层次考查数学基础知识的基础上，注重了对数学思想方法、数学能力及数学核心素养的考查，展示了数学的科学价值和人文价值，同时兼顾了试题的基础性、综合性、创新型和综合性，以及试题间的层次性，合理调控综合程度。可以说命题理念从原来的知识立意、能力立意向价值引领、素养导向、能力为重、知识为基转变，充分发挥了数学作为基础学科的作用，同时也考查了大多数考生进入高校继续学习的潜能，充分发挥了考试的引导作用。亮点1：立体几何只考初步知识，没有涉及空间向量。新高考的最大特点就是文理不分科，所有学生都要学习利用空间向量法解决立体几何问题，课标里针对原文科也增加了这部分内容。亮点2：新题型：结论开放性试题出现。新高考数学学科的一个最大特点就是有很多新题型，这次出了一道结论开放的填空题，主要考查学生平时的数学积累。亮点3：新题型：逻辑题推理出现。新高考新课标里明确了删除推理和证明，但这次出了一道逻辑推理题，进一步明确了逻辑推理这个核心素养的重要性。亮点4：函数、导数与不等式的综合题有一定的规律。2020年的高考，不管是新高考还是老高考，全国3套卷都出现了在选择题的压轴题考查函数、导数与不等式综合题的规律，这次考试也继承了这个特色。亮点5：出现了学科综合性题。中国高考评价体系的一核四层四翼中明确了高考考查基础性、综合性、应用性、创新性，而综合性就有学科之间的综合和数学模块之间的综合性。此次考试中出现了导函数和三角函数的综合题。

用初中数学破解：2021年八省联考立体几何大题

北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定∶多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如∶正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为 ，故其总曲率为.

（1）求四棱锥的总曲率

（2）若多面体满足∶ 顶点数-棱数+面数=2，证明∶ 这类多面体的总曲率是常数.

【解答第1问】

四棱锥有5个顶点和5个面，其中1个四边形，4个三角形，其面角总和 =

总曲率=

【解答第2问】

如图所示对于平面上的n边形，在多边形内任取一点Q，可以将其拆分为n个三角形。因为任意三角形的内角之和等于180度，所以这些三角形的内角之和等于： 由于在点Q处还有一个角，所以n边形的内角之和等于： ，也就是: .

对于多面体的每个面依法炮制，可得三角形的数量 = 棱数 × 2

可得角的数量 = 面数

按照曲率公式，

总曲率 = 顶点数- (棱数- 面数) = (顶点数-棱数+面数)

证明完毕.

【回归教材】

多边形的内角和是几何学的一个基本问题，人教版《数学-八年级上册》（第21页）第11章 §11.3.2 的标题即为：《多边形的内角和》

可见本题考查的属于：基本概念和基本方法。

【提炼与提高】

为什么有好多学生感觉这个题很难？原因在于：它太基本了，在经过大量的、重复性的机械的训练之后，学生已经不会用基本的方法解决问题。遇到这样和所有『题型』都不靠的问题，就无从下手。

为了成功解答本题，考生要过几关：

1）读懂题目，关键是在几分钟内理解一个新的概念：多面体的曲率。

2）掌握多边形内角和公式的推导过程，而不仅仅是结论。

3）经过观察和归纳，得出结论：三角形的数量=棱数×2. 这点并不难，但现实中就是有人做不到。

多年来中学数学的教学存在一种理论与实践脱节的倾向：专家们不断强调数学思想和方法；中学教师一直在带着自己的学生拼命刷题。

八省联考数学卷，向大家传递了这样一个信号：命题人办法是很多的。在对高考制度不进行大变的前提下，加强对于学生能力的考查，是完全可以做到的。

对于备考的学生和教师来说我的建议是：

1）多思考，多总结；切忌盲目做题。

2）花点时间读读教科书，包括初中和高中的教科书，会用到的。

八省联考数学这道题中多面体的总曲率有什么含义?

从连续微分几何的角度来看，这么定义也可以理解，因为曲率本来就可以从holonomy的角度去理解。这题目出成中学数学题也没什么不妥，虽然背景来自微分几何，但是抛开背景，涉及的知识完全是初等的组合数学。

可以知道做功的多少。因为曲率半径越大越省力，而转角越大力走过的路程越大，所以知道这两个参数，就可以计算出做功多少。

平面曲线的曲率：

对于平面曲线C，在一点P的曲率大小等于密切圆半径的倒数，它是一个指向该圆圆心的向量。其大小可用屈光度（dioptre）衡量，1屈光度等于1（弧度）每米。此密切圆的半径即为曲率半径。

密切圆的半径越小，曲率越大；所以曲线接近平直的时候，曲率接近0，而当曲线急速转弯时，曲率很大。

直线曲率处处为0；半径为r的圆曲率处处为1/r。