求关于《函数最值与数学应用题》论文的相关资料

课题：2.9.3函数应用举例3

教学目的：

1．使学生适应各学科的横向联系.

2.能够建立一些物理问题的数学模型.

3.培养学生分析问题、解决问题的能力.

教学重点：数学建模的方法教学难点：如何把实际问题抽象为数学问题.

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

上一节课我们主要学习了有关增长率的数学模型，这种模型在有关产量、产值、粮食、人口等等增长问题常被用到.这一节，我们学习有关物理问题的数学模型

二、新授内容：

例1（课本第86页例2）设海拔xm处的大气压强是yPa，y与x之间的函数关系式是，其中c，k为常量，已知某地某天在海平面的大气压为Pa，1000m高空的大气压为Pa，求：600m高空的大气压强（结果保留3个有效数字）

解：将x=0,y=；x=1000,y=，代入得：

将(1)代入(2)得：

计算得：∴

将x=600代入,得：

计算得：＝0.943×105(Pa)

答：在600m高空的大气压约为0.943×105Pa.

说明：（1）此题利用数学模型解决物理问题；（2）需由已知条件先确定函数式；（3）此题实质为已知自变量的值，求对应的函数值的数学问题；（4）此题要求学生能借助计算器进行比较复杂的运算.

例2在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到,,……,共n个数据，我们规定所测量的物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较a与各数据差的平方和最小.依次规定，从,,……,推出的a=________.(1994年全国高考试题)

分析：此题应排除物理因素的干扰，抓准题中的数量关系，将问题转化为函数求最值问题.

解：由题意可知，所求a应使y=(a-)+(a-)+…+(a-)最小

由于y=na-2(++…+)a+(++…+)

若把a看作自变量，则y是关于a的二次函数，于是问题转化为求二次函数的最小值.

因为n＞0,二次函数f(a)图象开口方向向上.

当a=(++…+)，y有最小值.

所以a=(++…+)即为所求.

说明：此题在高考中是具有导向意义的试题，它以物理知识和简单数学知识为基础，并以物理学科中的统计问题为背景，给出一个新的定义，要求学生读懂题目，抽象其中的数量关系，将文字语言转化为符号语言，即

y=(a-)+(a-)+…+(a-)，然后运用函数的思想、方法去解决问题，解题关键是将函数式化成以a为自变量的二次函数形式，这是函数思想在解决实际问题中的应用.

例3某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=,其中，λ是正的常数.

（1）说明函数是增函数还是减函数；（2）把t表示成原子数N的函数；（3）求当N=�时，t的值.

解：（1）由于＞0,λ＞0，函数N=是属于指数函数y=类型的，所以它是减函数，即原子数N的值随时间t的增大而减少

（2）将N=写成=

根据对数的定义有-λt=ln

所以t=-(lnN-ln)=(ln-lnN)

(3)把N=代入t=(ln-lnN)得t=(ln-ln)

=(ln-ln+ln2)=ln2.

三、练习：

1．如图，已知⊙O的半径为R，由直径AB的端点B作圆的切线，从圆周上任一点P引该切线的垂线，垂足为M，连AP设AP=x

⑴写出AP+2PM关于x的函数关系式⑵求此函数的最值

解：⑴过P作PD^AB于D，连PB设AD=a则

∴

⑵

当时

当时

2．距离船只A的正北方向100海里处有一船只B，以每小时20海里的速度，沿北偏西60°角的方向行驶，A船只以每小时15海里的速度向正北方向行驶，两船同时出发，问几小时后两船相距最近？

解：设t小时后A行驶到点C，B行驶到点D，则BD=20BC=100-15t

过D作DE^BC于EDE=BDsin60°=10tBE=BDcos60°=10t

∴EC=BC+BE=100-5t

CD==

∴t=时CD最小，最小值为200，即两船行驶小时相距最近

3．一根均匀的轻质弹簧，已知在600N的拉力范围内，其长度与所受拉力成一次函数关系，现测得当它在100N的拉力作用下，长度为0.55m,在300N拉力作用下长度为0.65，那么弹簧在不受拉力作用时，其自然长度是多少？

解：设拉力是xN(0≤x≤600)时，弹簧的长度为ym

设：y=kx+b由题设：

∴所求函数关系是：y=0.0005x+0.50

∴当x=0时，y=0.50,即不受拉力作用时，弹簧自然长度为0.50m

四、小结：通过本节学习，进一步熟悉数学建模的方法，能运用数学模型解决一定的关于物理的实际问题，提高解决数学应用题的应变能力.

五、课后作业：

要使火车安全行驶，按规定，铁道转弯处的圆弧半径不允许小于600m如果某段铁路两端相距156m，弧所对的圆心角小于180o,试确定圆弧弓形的高所允许的取值范围

分析：以弓形的高x为自变量，半径R为孙函数，求出R关于x的函数关系式

解：如图，设圆弧的半径OA=OB=Rm,圆弧弓形的高CD=xm,

在RtΔBOD中，DB=78，OD=R-x

则∴

依题意R≥600即

≥600

∴≥0

解得≤5.1或≥1194.9(不合题意)

答：圆弧弓形的高的允许值范围是（0，5.1）.

六、板书设计（略）

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