请问这道数学概率论题怎么做
f(x)=(1/2)e^(-|x|);-无穷<x<+无穷
首先要计算E(X)
利用E(X)=∫(-无穷->+无穷)xf(x)dx
E(X)
=∫(-无穷->+无穷)x[(1/2)e^(-|x|)]dx
=∫(-无穷->0)x[(1/2)e^x]dx+∫(0->+无穷)x[(1/2)e^(-x)]dx
=(1/2)∫(-无穷->0)xde^x-(1/2)∫(0->+无穷)xde^(-x)
分部积分∫udv=uv-∫vdu
=(1/2)[xe^x]|(-无穷->0)-(1/2)∫(-无穷->0)e^xdx
-(1/2)[xe^(-x)]|(0->+无穷)+(1/2)∫(0->+无穷)e^(-x)dx
=0-(1/2)∫(-无穷->0)e^xdx-0+(1/2)∫(0->+无穷)e^(-x)dx
=-(1/2)[e^x]|(-无穷->0)-(1/2)[e^(-x)]|(0->+无穷)
=0
再算E(X^2)
E(X^2)
=∫(-无穷->+无穷)x^2.[(1/2)e^(-|x|)]dx
=(1/2)∫(-无穷->0)x^2.e^xdx+(1/2)∫(0->+无穷)x^2.e^(-x)dx
=(1/2)∫(-无穷->0)x^2de^x-(1/2)∫(0->+无穷)x^2de^(-x)
=(1/2)[x^2.e^x]|(-无穷->0)-∫(-无穷->0)xe^xdx
-(1/2)[x^2.e^(-x)]|(0->+无穷)+∫(0->+无穷)xe^(-x)dx
=-∫(-无穷->0)xe^xdx+∫(0->+无穷)xe^(-x)dx
=-E(X)+2∫(0->+无穷)xe^(-x)dx
=2∫(0->+无穷)xe^(-x)dx
=-2∫(0->+无穷)xde^(-x)
=-2[xe^(-x)]|(0->+无穷)+2∫(0->+无穷)e^(-x)dx
=-2[e^(-x)]|(0->+无穷)
=2
D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=2
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