实数理论的概述

实数是数学中最基本的概念之一。实数与数轴上的点可以一一对应。数学分析所研究的函数，其自变量都取实数值，所以认识和了解实数是建立严格的分析理论不可缺少的基础（“分析基础”）。实数包括有理数与无理数，而从欧几里得以来，人们都把它们理解为单位长线段可公度与不可公度的线段的长度。到17世纪，人们对实数的使用已经习以为常，并开始脱离其几何原型抽象地认识实数。但到19世纪中叶，在分析严格化的进程中，由于一些事实无法证明（例如，柯西无法证明自己提出的收敛准则的充分性），一些证明出了错（如波尔查诺对连续函数介值性的证明），人们才发现对实数特别是无理数的认识仍然模糊不清，这才促使一批数学家关注于处理无理数的问题。通过他们的努力，终于在将近半个世纪的时间里，建立了多种形式上不同，而实质上等价的严格的实数理论。各种形式的构造性实数理论，都是首先从有理数出发去定义无理数，也就是说，数轴上有理点之间的所有空隙（无理点），都可以由有理数经过一定的方式来确定。然后证明这样定义的实数（原有的有理数和新定义的无理数）具有人们原来熟知的实数所应有的一切性质，特别是连续性。这些形式上不同的实数理论也就因确定空隙的方法不同而互相区分，它们主要有：戴德金用有理数的分割的方法，康托尔用有理数的基本列的方法，魏尔斯特拉斯用无穷（非循环）十进小数的方法，以及用端点为有理点的闭区间套和有界单调有理数列的方法。站在现代数学的立场来看，上述各种方法都是从假定实数具有某种特性出发的（如戴德金的方法假定了实数的连续性，康托尔假定的是完备性，而用闭区间套的方法反映了实轴上有界闭集的紧性），而这些特性在实数范围内都是等价的，因而用这些方法定义出的实数都是完全相同的。另外还有一种与上述构造法完全不同的定义实数的方法（即“实数公理”）。他将实数应有的一些基本性质列为一个公理系统，然后将满足这个公理系统的对象定义为实数。基于这些公理的实数理论与上述基于构造法的也相互等价。当然还应当指出，不仅极限理论需要在实数系中才能成立，就是中学数学中的许多初等函数，除了多项式和有理分式之外，没有实数也是无法给出定义的。将无限不循环小数定义为无理数是容易为学生所接受的，但在这样定义的实数系内四则运算是如何进行的，还是完全不清楚的，而且实际上也不是简单的。至于指数和对数当其中都是实数时应当如何定义就更加困难了。由此可见即使为了对初等函数给出严格的定义，也需要回答什么是实数这样一个问题。当然这不是中学数学要承担的任务。