几种常用泊松积分
发表时间：2024-07-26 02:07:28
来源：网友投稿
设I＝泊松积分＝（0，∝）∫［e^（-x^2）］dxI^2
={（0，∝）∫［e^（x^2）］dx}*{（0，∝）∫［e^（y^2）］dy
=（积分区间D）∫∫［e^（-x^2-y^2）］dxdy（面积分）
=>［积分变换ρ^2=x^2+y^2，dxdy=ρdρdθ，D：0≤ρ≤+∝，0≤θ≤π/2］
=（积分区间D）∫∫［e^（-ρ^2）］ρdρdθ（面积分）
={（0≤θ≤π/2）∫dθ}{（0≤ρ≤+∝）∫［e^（-ρ^2）ρdρ］}
=（π/2）*（1/2）
故I＝泊松积分=（√π）/2
意义
泊松积分公式表明：如果知道调和函数在圆周l上的点（R，θ）的值是u（R，θ），便能找出它在圆内任一点（r，φ）的值；换句话说，任何一个调和函数在圆内的值都可以用它在圆周上的值来表达。
泊松积分公式是圆域狄利克雷问题的求解公式。公式表明：如果知道调和函数在圆周l上的点（R，θ）的值是u（R，θ），便能找出它在圆内任一点（r，φ）的值。
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