数学期望的问题

最近经常遇到一类求随机变量的数学期望题。这类题给出的随机变量通常以几何分布为基础，其取值一般有无数种可能。如果按常规方法先列出分布列再求无穷级数的和，其过程可能会比较繁琐。下面介绍一下跳过分布列直接求数学期望的方法。

例1.（几何分布基本构型）yzj正在刷一试填空题，直到有一题做错为止，已知yzj每道题做错的概率均为，求yzj做题总数的数学期望。

解法一：（经典做法）易知随机变量服从几何分布，即：

故有：，

所求

.

这里用到了一点生成函数的相关知识。关于最后一步的求和，我们有很多解决方法（例如求导、错位相减等），这里就不一一列举了，有兴趣的同学可以作为练习尝试一下。

解法二：（利用“无限”带来的便利）

yzj先做第一题，无论是否做对，yzj已经做了一道题。

yzj将第一题做错的概率是，此时yzj一共只做了一题，对的贡献是

yzj将第一题做对的概率是，此时yzj已经做了一题，接下来yzj要做的题的数学期望仍为,对的贡献是

综上所求

.

这种解法的思想十分重要，它将是这篇文章的重点，请读者仔细体会。本题得到的结论也十分重要，下面一些题会直接引用本题结论。

例2：现有张互不相同的卡片，每次从中任取一张，每张卡片被取出的概率相等，确定后放回，直到每张卡片都被抽过一次为止。求抽取次数的数学期望。

解：当已经抽出种卡片时，

抽出第种卡片的概率是，

抽出第种卡片所需次数，

故由例一知

所求.

第一次看这道题的解答时居然没看懂（捂脸），不过有了几何分布的概念后这道题就不难了。

例3：yzj和zsb轮流射门，射正概率分别为和，yzj先手，直到有一人射正为止。求yzj射门次数，zsb射门次数和两人总射门次数的数学期望。

分析：若yzj和zsb各射一次门，两人都未射正，则接下来射门次数的数学期望不变。

解：先让yzj射一次门，若yzj未进，再让zsb射一次门：

yzj第一次射正的概率是；

yzj第一次未射正，zsb第一次射正的概率是；

yzj和zsb第一次均未射正的概率是。

故

.

这道题虽然没有直接用几何分布的知识，不过其思想仍然是利用无限的性质解决问题。

练习：1.yzj的书包中有语文、数学、英语书各一本，yzj从中随机拿一本后放回，直到连续两次拿出数学书为止，求拿书次数的数学期望。

2.yzj玩某抽卡游戏，单抽出四星卡的概率是，出三星卡的概率是，其余情况出二星卡。yzj为了验证自己的血统，决定抽出一张四星或连续抽出两张三星时为止。假设yzj拥有足够的星石，求yzj单抽次数的数学期望。

以上是这篇文章的主要内容，有兴趣的同学可以自己编题做一做。最后求点赞三连（溜