实数是指什么数

词典含义

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shíshù

（一）数学名词。不存在虚数部分的复数，有理数和无理数的总称。

（二）真实的数字。【例】公司到底还有多少钱？请你告诉我实数！

基本概念

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实数包括有理数和无理数。其中无理数就是无限不循环小数和开根开不尽的数，有理数就包括无限循环小数、有限小数、整数。

数学上实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。本来实数仅称作数，后来引入了虚数概念，原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。

实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正数，负数和零三类。实数集合通常用字母R或R^n表示。而R^n表示n维实数空间。实数是不可数的。实数是实分析的核心研究对象。

实数可以用来测量连续的量。理论上任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后n位，n为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。

①相反数（只有符号不同的两个数，我们就说其中一个是另一个的相反数）实数a的相反数是-a

②绝对值（在数轴上一个数所对应的点与原点0的距离）实数a的绝对值是：│a│=①a为正数时，|a|=a

②a为0时，|a|=0

③a为负数时，|a|=-a

③倒数（两个实数的乘积是1，则这两个数互为倒数）实数a的倒数是：1/a（a≠0）

历史来源

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埃及人早在大约公元前1000年就开始运用分数了。在公元前500年左右，以毕达哥拉斯为首的希腊数学家们意识到了无理数存在的必要性。印度人于公元600年左右发明了负数，据说中国也曾发明负数，但稍晚于印度。

直到17世纪，实数才在欧洲被广泛接受。18世纪，微积分学在实数的基础上发展起来。直到1871年，德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义。

相关定义

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从有理数构造实数

实数可以用通过收敛于一个唯一实数的十进制或二进制展开如{3,3.1,3.14,3.141,3.1415,…}所定义的序列的方式而构造为有理数的补全。实数可以不同方式从有理数构造出来。这里给出其中一种，其他方法请详见实数的构造。

公理的方法

设R是所有实数的集合，则：

集合R是一个域：可以作加、减、乘、除运算，且有如交换律，结合律等常见性质。

域R是个有序域，即存在全序关系≥，对所有实数x,y和z：

若x≥y则x+z≥y+z；

若x≥0且y≥0则xy≥0。

集合R满足戴德金完备性，即任意R的非空子集S(S∈R，S≠Φ)，若S在R内有上界，那么S在R内有上确界。

最后一条是区分实数和有理数的关键。例如所有平方小于2的有理数的集合存在有理数上界，如1.5；但是不存在有理数上确界（因为√2不是有理数）。

实数通过上述性质唯一确定。更准确的说给定任意两个戴德金完备的有序域R1和R2，存在从R1到R2的唯一的域同构，即代数学上两者可看作是相同的。

相关性质

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基本运算

实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、平方等，对非负数还可以进行开方运算。实数加、减、乘、除（除数不为零）、平方后结果还是实数。任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次方其结果还是实数。

完备性

作为度量空间或一致空间，实数集合是个完备空间，它有以下性质：

所有实数的柯西序列都有一个实数极限。

有理数集合就不是完备空间。例如(1,1.4,1.41,1.414,1.4142,1.41421,...)是有理数的柯西序列，但没有有理数极限。实际上它有个实数极限√2。实数是有理数的完备化——这亦是构造实数集合的一种方法。

极限的存在是微积分的基础。实数的完备性等价于欧几里德几何的直线没有“空隙”。

“完备的有序域”

实数集合通常被描述为“完备的有序域”，这可以几种解释。

首先有序域可以是完备格。但是很容易发现没有有序域会是完备格。这是由于有序域没有最大元素（对任意元素z，z+1将更大）。所以这里的“完备”不是完备格的意思。

另外有序域满足戴德金完备性，这在上述公理中已经定义。上述的唯一性也说明了这里的“完备”是指戴德金完备性的意思。这个完备性的意思非常接近采用戴德金分割来构造实数的方法，即从（有理数）有序域出发，通过标准的方法建立戴德金完备性。

这两个完备性的概念都忽略了域的结构。但是有序群（域是种特殊的群）可以定义一致空间，而一致空间又有完备空间的概念。上述完备性中所述的只是一个特例。（这里采用一致空间中的完备性概念，而不是相关的人们熟知的度量空间的完备性，这是由于度量空间的定义依赖于实数的性质。）当然R并不是唯一的一致完备的有序域，但它是唯一的一致完备的阿基米德域。实际上“完备的阿基米德域”比“完备的有序域”更常见。可以证明任意一致完备的阿基米德域必然是戴德金完备的（当然反之亦然）。这个完备性的意思非常接近采用柯西序列来构造实数的方法，即从（有理数）阿基米德域出发，通过标准的方法建立一致完备性。

“完备的阿基米德域”最早是由希尔伯特提出来的，他还想表达一些不同于上述的意思。他认为实数构成了最大的阿基米德域，即所有其他的阿基米德域都是R的子域。这样R是“完备的”是指，在其中加入任何元素都将使它不再是阿基米德域。这个完备性的意思非常接近用超实数来构造实数的方法，即从某个包含所有（超实数）有序域的纯类出发，从其子域中找出最大的阿基米德域。