相对论推导

证明

　　相对论公式及证明　　符号单位符号单位　　坐标（x,y,z）：m力F(f）：N　　时间t(T）：s质量m(M):kg　　位移r：m动量p:kg*m/s　　速度v(u）：m/s能量E:J　　加速度a：m/s^2冲量：N*s　　长度l(L）：m动能Ek：J　　路程s(S）：m势能Ep：J　　角速度ω：rad/s力矩：N*m　　角加速度：rad/s^2α功率P：W　　牛顿力学　　（一）：质点运动学基本公式：（1)v=dr/dt,r=r0+∫vdt　　(2)a=dv/dt,v=v0+∫adt　　（注：两式中左式为微分形式，右式为积分形式）　　当v不变时，（1）表示匀速直线运动。　　当a不变时，（2）表示匀变速直线运动。　　只要知道质点的运动方程r=r(t），它的一切运动规律就可知了。　　（二）：质点动力学：　　(1）牛一：一切物体在没有受到力的作用时，总保持静止状态或匀速直线运动状态。　　(2）牛二：物体加速度与合外力成正比与质量成反比。　　F=ma=mdv/dt=dp/dt　　(3）牛三：作用在同一物体上的两个力，如果等大反向作用在同一直线上，则二力平衡。　　(4）万有引力：两质点间作用力与质量乘积成正比，与距离平方成反比。　　F=GMm/r^2,G=6.67259*10^(-11)m^3/(kg*s^2)　　动量定理：I=∫Fdt=p2-p1（合外力的冲量等于动量的变化）　　动量守恒：合外力为零时，系统动量保持不变。　　动能定理：W=∫Fds=Ek2-Ek1（合外力的功等于动能的变化）　　机械能守恒：只有重力做功时，Ek1+Ep1=Ek2+Ep2　　（注：牛顿力学的核心是牛顿第二定律：F=ma，它是运动学与动力学的桥梁，我们的目的是知道物体的运动规律，即求解运动方程r=r(t），若知受力情况，根据牛二可得a，再根据运动学基本公式求之。同样若知运动方程r=r(t），可根据运动学基本公式求a，再由牛二可知物体的受力情况。）　　狭义相对论力学　　（注：“γ”为相对论因子，γ=1/sqr(1-u^2/c^2），β=u/c，u为惯性系速度。）　　1．基本原理：（1）相对性原理：所有惯性系都是等价的。　　（2）光速不变原理：真空中的光速是与惯性系无关的常数。　　（此处先给出公式再给出证明）　　2．洛仑兹坐标变换：　　X=γ（x-ut)　　Y=y　　Z=z　　T=γ（t-ux/c^2)　　3．速度变换：　　V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)　　V(y)=v(y)/（γ（1-v(x)u/c^2))　　V(z)=v(z)/（γ（1-v(x)u/c^2))　　4．尺缩效应：△L=△l/γ或dL=dl/γ　　5．钟慢效应：△t=γ△τ或dt=dτ/γ　　6．光的多普勒效应：ν（a)=sqr((1-β）/(1+β））ν（b)　　（光源与探测器在一条直线上运动。）　　7．动量表达式：P=Mv=γmv，即M=γm　　8．相对论力学基本方程：F=dP/dt　　9．质能方程：E=Mc^2　　10．能量动量关系：E^2=(E0)^2+P^2c^2　　（注：在此用两种方法证明，一种在三维空间内进行，一种在四维时空中证明，实际上他们是等价的。）　　三维证明　　1．由实验总结出的公理，无法证明。　　2．洛仑兹变换：　　设（x,y,z,t）所在坐标系（A系）静止，（X,Y,Z,T）所在坐标系（B系）速度为u，且沿x轴正向。在A系原点处，x=0，B系中A原点的坐标为X=-uT，即X+uT=0。　　可令　　x=k(X+uT)(1).　　又因在惯性系内的各点位置是等价的，所以k是与u有关的常数（广义相对论中，由于时空弯曲，各点不再等价，所以k不再是常数。）同理，B系中的原点处有X=K(x-ut），由相对性原理知，两个惯性系等价，除速度反向外，两式应取相同的形式，即k=K.　　故有　　X=k(x-ut)(2).　　对于y,z,Y,Z皆与速度无关，可得　　Y=y(3).　　Z=z(4).　　将（2）代入（1）可得：x=k^2(x-ut)+kuT，即　　T=kt+((1-k^2)/(ku))x(5).　　(1)(2)(3)(4)(5）满足相对性原理，要确定k需用光速不变原理。当两系的原点重合时，由重合点发出一光信号，则对两系分别有x=ct，X=cT.　　代入（1)(2）式得：ct=kT(c+u），cT=kt(c-u).两式相乘消去t和T得：　　k=1/sqr(1-u^2/c^2)=γ.将γ反代入（2)(5）式得坐标变换：　　X=γ（x-ut)　　Y=y　　Z=z　　T=γ（t-ux/c^2)　　3．速度变换：　　V(x)=dX/dT=γ（dx-ut)/（γ（dt-udx/c^2))　　=(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c^2)　　=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)　　同理可得V(y),V(z）的表达式。　　4．尺缩效应：　　B系中有一与x轴平行长l的细杆，则由X=γ（x-ut）得：△X=γ（△x-u△t），又△t=0（要同时测量两端的坐标），则△X=γ△x，即：△l=γ△L，△L=△l/γ　　5．钟慢效应：　　由坐标变换的逆变换可知，t=γ（T+Xu/c^2），故△t=γ（△T+△Xu/c^2），又△X=0，（要在同地测量），故△t=γ△T.　　（注：与坐标系相对静止的物体的长度、质量和时间间隔称固有长度、静止质量和固有时，是不随坐标变换而变的客观量。）　　6．光的多普勒效应：（注：声音的多普勒效应是：ν（a)=((u+v1)/(u-v2））ν（b).）　　B系原点处一光源发出光信号，A系原点有一探测器，两系中分别有两个钟，当两系原点重合时，校准时钟开始计时。B系中光源频率为ν（b），波数为N，B系的钟测得的时间是△t(b），由钟慢效应可知，A△系中的钟测得的时间为　　△t(a)=γ△t(b)(1).　　探测器开始接收时刻为t1+x/c，最终时刻为t2+(x+v△t(a))/c，则　　△t(N)=(1+β）△t(a)(2).　　相对运动不影响光信号的波数，故光源发出的波数与探测器接收的波数相同，即　　ν（b）△t(b)=ν（a）△t(N)(3).　　由以上三式可得：　　ν（a)=sqr((1-β）/(1+β））ν（b).　　7．动量表达式：（注：dt=γdτ，此时，γ=1/sqr(1-v^2/c^2）因为对于动力学质点可选自身为参考系，β=v/c）　　牛顿第二定律在伽利略变换下，保持形势不变，即无论在那个惯性系内，牛顿第二定律都成立，但在洛伦兹变换下，原本简洁的形式变得乱七八糟，所以有必要对牛顿定律进行修正，要求是在坐标变换下仍保持原有的简洁形式。　　牛顿力学中，v=dr/dt，r在坐标变换下形式不变，（旧坐标系中为（x,y,z）新坐标系中为（X,Y,Z））只要将分母替换为一个不变量（当然非固有时dτ莫属）就可以修正速度的概念了。即令V=dr/dτ=γdr/dt=γv为相对论速度。牛顿动量为p=mv，将v替换为V，可修正动量，即p=mV=γmv。定义M=γm（相对论质量）则p=Mv.这就是相对论力学的基本量：相对论动量。（注：我们一般不用相对论速度而是用牛顿速度来参与计算）　　8．相对论力学基本方程：：　　由相对论动量表达式可知：F=dp/dt，这是力的定义式，虽与牛顿第二定律的形式完全一样，但内涵不一样。（相对论中质量是变量）　　9．质能方程：　　Ek=∫Fdr=∫（dp/dt)*dr=∫dp*dr/dt=∫vdp=pv-∫pdv　　=Mv^2-∫mv/sqr(1-v^2/c^2)dv=Mv^2+mc^2*sqr(1-v^2/c^2)-mc^2　　=Mv^2+Mc^2(1-v^2/c^2)-mc^2　　=Mc^2-mc^2　　即E=Mc^2=Ek+mc^2　　10．能量动量关系：　　E=Mc^2，p=Mv，γ=1/sqr(1-v^2/c^2），E0=mc^2，可得：E^2=(E0)^2+p^2c^2　　四维证明　　1．公理，无法证明。　　2．坐标变换：由光速不变原理：dl=cdt，即dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2=0在任意惯性系内都成立。定义dS为四维间隔，　　dS^2=dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2(1).　　则对光信号dS恒等于0，而对于任意两时空点的dS一般不为0。dS^2>0称类空间隔，dS^2<0称类时间隔，dS^2=0称类光间隔。相对论原理要求（1）式在坐标变换下形式不变，所以（1）式中存在与坐标变换无关的不变量，dS^2dS^2光速不变原理要求光信号在坐标变换下dS是不变量。所以在两个原理的共同制约下，可得出一个重要的结论：dS是坐标变换下的不变量。　　由数学的旋转变换公式有：（保持y,z轴不动，旋转x和ict轴）　　X=xcosφ+(ict)sinφ　　得：tanφ=iu/c，则cosφ=γ，sinφ=iuγ/c反代入上式得：　　X=γ（x-ut)　　Y=y　　Z=z　　T=γ（t-ux/c^2)　　3．4．5．6．略。　　7．动量表达式及四维矢量：（注：γ=1/sqr(1-v^2/c^2），下式中dt=γdτ）　　令r=(x,y,z,ict）则将v=dr/dt中的dt替换为dτ，V=dr/dτ称四维速度。　　则V=（γv,icγ）γv为三维分量，v为三维速度，icγ为第四维分量。（以下同理）　　四维动量：P=mV=（γmv,icγm)=(Mv,icM)　　四维力：f=dP/dτ=γdP/dt=（γF，γicdM/dt）（F为三维力）　　四维加速度：ω=/dτ=（γ^4a，γ^4iva/c)　　则f=mdV/dτ=mω　　8．略。　　9．质能方程：　　fV=mωV=m（γ^5va+i^2γ^5va)=0　　故四维力与四维速度永远“垂直”，（类似于洛伦兹磁场力）　　由fV=0得：γ^2mFv+γic(dM/dt)(icγm)=0（F,v为三维矢量，且Fv=dEk/dt（功率表达式））　　故dEk/dt=c^2dM/dt即∫dEk=c^2∫dM，即：Ek=Mc^2-mc^2　　故E=Mc^2=Ek+mc^2