数学建模算法(14)排队论：基本概念

排队是在日常生活中经常遇到的现象，如顾客到商店购买物品、病人到医院看病常常要排队。此时要求服务的数量超过服务机构（服务台、服务员等）的容量。也就是说到达的顾客不能立即得到服务，因而出现了排队现象。这种现象不仅在个人日常生活中出现，电话局的占线问题，车站、码头等交通枢纽的车船堵塞和疏导，故障机器的停机待修，水库的存贮调节等都是有形或无形的排队现象。由于顾客到达和服务时间的随机性。可以说排队现象几乎是不可避免的。

排队论又称**随机服务系统理论，就是为解决上述问题而发展的一门学科，它研究的内容主要有以下三部分：

下面将对排队论的基本知识进行介绍：

下图是排队论的一般模型：

图中虚线所包含的部分为排队系统。各个顾客从顾客源出发，随机地来到服务机构，按一定的排队规则等待服务，直到按一定的服务规则接受完服务后离开排队系统。

一般的排队过程都由输入过程，排队规则，服务过程三部分组成，现分述如下：

输入过程是指顾客到来时间的规律性，可能有下列不同情况：

排队规则指到达排队系统的顾客按怎样的规则排队等待，可分为损失制，等待制和混合制三种。

举例：小张去银行取钱，发现前面一个顾客身边摆了4个麻袋的硬币要存钱，于是悻悻地换了一个窗口。

举例：小张去银行取钱，发现前面有一条队的人很少，于是赶紧挤上前去排队。

举例：小张发现柜台前面有一条排队等待线，排队队伍长度不能够超过这条线，于是换到了还没有达到排队限度的队伍里。

1.服务机构单服务台，多服务台并联（每个服务台同时为不同顾客服务）；多服务台串联（多服务台依次为同一顾客服务）；混合制。2.服务规则(1)先到先服务(2)后到先服务(3)随机服务，在队列中随机选人进行服务(4)特殊优先服务，对病情危急的病人优先治疗。

：顾客到达流或顾客到达时间的分布。：服务时间的分布。：服务台数目。：系统容量限制。：顾客源数目。：服务规则。（先到先服务FCFS，后到先服务LCFS）

1.平均队长：正在被服务和正在等待服务的顾客数之和的数学期望。2.平均排队长：指系统内等待服务的顾客数的数学期望。3.平均逗留时间：顾客在系统内逗留时间（包括排队等待的时间和接受服务的时间）。4.平均等待时间：指一个顾客在排队系统中排队等待时间。5.平均忙期：指服务机构连续繁忙时间（顾客到达空闲服务机构起，到服务机构再次空闲止的时间）长度的数学期望。

还有由于顾客被拒绝而使企业受到损失的损失率以及以后经常遇到的服务强度等，这些都是很重要的指标。

计算这些指标的基础是表达系统状态的概率。所谓系统的状态即指系统中顾客数，如果系统中有n个顾客就说系统的状态是n，它的可能值是：1.队长没有限制时：2.队长有限制，最大数为时，3.损失制，服务台个数是时，这些状态的概率一般是随时刻而变化，所以在时刻，系统状态为的概率用表示。稳态时系统状态为的概率用表示。