为什么冲激函数是阶跃函数的导数
发表时间：2024-07-27 21:12:20
来源：网友投稿
冲激函数（delta函数）通常被定义为在0处为无限大，在其他地方为0的一个函数。它是一种理论上的构造，不是一个具有了实际意义的函数。
首先我们来定义阶跃函数u(t)：它在t=0处跃升，之前为0，之后为1。
然后来构造一个冲激函数η(t)，满足以下两个性质：
1. 它在t=0时为一个非零无穷大的值。
2. 满足关于时间t的积分为1的条件：∫(-∞,+∞)η(t)dt=1。
于是我们把η(t)定义为u(t)的导数，即η(t) = du(t)/dt。
我们来看这个定义在t=0时的值：根据导数定义，u(t)在t=0时的导数为无穷大，也就是符合第1个性质。
另外根据u(t)的定义，我们可以发现，在t=0时，它从0跳跃到了1，也就是说u(t)的单位跃升面积为1。而根据导数定义，du(t)/dt表示u(t)的面积在t处的斜率，也就是在t=0处，du(t)/dt的值应该为1。所以η(t)=du(t)/dt满足第2个性质。
所以我们可以发现，通过定义冲激函数η(t)为阶跃函数u(t)的导数，我们得到了一个函数满足冲激函数的两个性质。这个定义方式在信号处理、控制论、微积分学等数学和工程领域中是非常有用的。
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