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复数域上的完备性定理

发表时间：2024-07-27 23:58:25 来源：网友投稿

由于复数没有大小，所以确界原理和单调有界原理在复数域中并不成立。

其他的都成立，由于复数域可看作与R^2对等，而在R^2中余下的那些性质是成立的。

完备性也称完全性，可以从多个不同的角度来精确描述这个定义，同时可以引入完备化这个概念。但是在不同的领域中，“完备”也有不同的含义，特别是在某些领域中，“完备化”的过程并不称为“完备化”，另有其他的表述，请参考代数闭域(algebraically closed field）、紧化(compactification）或哥德尔不完备定理。

在数理逻辑(en:mathematical logic中），一个理论(theory）被称为完备的，如果对于其语言（language）中的任何一个句子（sentence)S，这个理论包括且仅包括S或S之逆。一个系统是兼容的，如果不存在同时P和非P的证明。哥德尔不完备定理证明了，包含皮亚诺公理(Peano axioms）的所有公理系统都是不可能既完备又相容的。下面还有一些逻辑中关于完备性的定义。

在证明论(proof theory）和相关的数理逻辑的领域中，一个形式的演算(calculus）相对于一个特定的逻辑（即相对于它的语义（semantics））是完备的，如果任何由一组前提Q根据语义导出的陈述P，都可以从这组前提出发利用这个演算语法地（syntactically）导出。形式地说Q╞P导出Q|-P。一阶逻辑(First-order logic）在这个意义下是完备的。特别的所有逻辑的重言式(tautologies）都可以被证明。即使在经典逻辑中，这与前述的完备性是不同的（即一个陈述和否定陈述对于这个逻辑而言不可能是重言式）。相反的概念被称为可靠性（soundness）

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