如何证明上确界和下确界
发表时间：2024-07-28 00:22:34
来源：网友投稿
证明：
先证上确界用反证法——
(1)
假设存在上确界 U < √2，则
对所有 x∈S，都有 x≤U
当 x = (U+√2)/2 时，
x^2 = (U^2 + 2√2U + 2)/4 < (2 + 4 + 2)/4 = 2
所以 x∈S
但同时x = (U+√2)/2 > (U+U)/2 = U
所以 x>U
这就意味着：S 中存在 x，使得 x > U
所以U 不是上确界，与假设矛盾，即：
上确界 ≥ √2
(2)
假设存在上确界 U > √2
因为 [上确界] 是所有 [上限] 中最小的
所以不存在 x<U，使得 S 中所有元素都 ≤ x
当 x = (U+√2)/2 时，
x^2 = (U^2 + 2√2U + 2)/4 > (2 + 4 + 2)/4 = 2
所以 x∉S
但同时x = (U+√2)/2 < (U+U)/2 = U
所以 x<U
这就意味着：存在 x<U，使得 S 中所有元素都 ≤ x，与假设矛盾
所以U 不是上确界，即：
上确界 ≤ √2
至此√2 ≤ 上确界 ≤ √2
所以上确界 =√2
下确界的证明和上确界方法相同，就是加几个负号~
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