怎么判断函数间断点的种类

发表时间：2024-07-28 02:40:18 来源：网友投稿

函数间断点是指函数在某一点处没有定义或者没有极限值，通常分为以下几种类型：

可去间断点：函数在某一点处没有定义，但可以通过补充定义使其成为连续函数。

例如函数 f(x) = 1/x 在 x = 0 处没有定义，但是可以通过补充定义 f(0) = 0，使其成为连续函数。

跳跃间断点：函数在某一点处没有定义，但是在该点左右两边的极限值存在且不相等。

例如函数 f(x) = |x| 在 x = 0 处没有定义，但是左侧趋向于 0 时，函数值为 -1；右侧趋向于 0 时，函数值为 1，所以该点为跳跃间断点。

无穷间断点：函数在某一点处没有定义，但是该点的左右极限至少有一个不存在，且趋于该点时函数的值会无限增大或无限减小。

例如函数 f(x) = 1/x 在 x = 0 处没有定义，左侧趋向于 0 时，函数值会趋于负无穷；右侧趋向于 0 时，函数值会趋于正无穷，所以该点为无穷间断点。

振荡间断点：函数在某一点处没有定义，但是该点的左右极限都存在，但是趋于该点时函数的值会反复地取一些值。

例如函数 f(x) = sin(1/x) 在 x = 0 处没有定义，但是左侧趋向于 0 时，函数值会在 -1 和 1 之间反复跳跃，所以该点为振荡间断点。

判断函数间断点的类型可以通过求出该点的左右极限值来判断，如果左右极限值都存在且相等，那么该点为可去间断点；如果左右极限值存在但是不相等，那么该点为跳跃间断点；如果左右极限值至少有一个不存在，那么该点为无穷间断点；如果左右极限值都存在，但是函数的值会反复地取一些值，那么该点为振荡间断点。

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