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柯西判别法使用条件

发表时间：2024-07-28 04:01:20 来源：网友投稿

根式判别法（柯西判别法）

正项级数

设为正项级数，且存在某正常数及正常数。

正项级数

（1）若对一切，成立不等式，则级数收敛；

正项级数

（2）若对一切，成立不等式，则级数发散；

柯西判别法的极限形式：

正项级数

设

为正项级数且

则：

（1）当

时，级数

收敛；

正项级数

（2）当，级数发散。

正项级数

注意：若，这时用根式判别法不能对级数的敛散性做出判别，因为它可能是收敛的，也可能是发散的，例如级数和，他们的比式极限都是，但是收敛的，却是发散的。

积分判别法

积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性。

正项级数

设为上非负减函数，那么正项级数与反常积分同时收敛或同时发散。

典例

p级数

正项级数

讨论级数的收敛性，其中常数。

解：分两种情况讨论，

正项级数

（1）当，级数的各项大于等于调和级数的对应项，即，由于调和级数发散，所以根据比较判别法可知，此时级数发散。

正项级数

（2）当时，记级数的部分和为： .

正项级数

当时，取，则有，所以有：

正项级数

从而

正项级数

即有。

正项级数

这表明当时级数的部分和有界。所以当时级数收敛。

例2

正项级数

讨论正项级数的敛散性。

解：

正项级数

（1）当时，对一切都有，所以级数发散。

正项级数

（2）当时，对一切都有，而为收敛的等比数列，所以级数收敛。

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