求解Ax=0的基础解系

发表时间：2024-07-28 04:37:21 来源：网友投稿

要求解Ax=0的基础解系，首先需要将增广矩阵[A|0]化为行阶梯形矩阵。然后由于Ax=0，即方程组的解必须满足矩阵A的列向量的线性组合为零向量，所以可以通过观察行阶梯形矩阵中的自由变量来确定基础解系。

具体步骤如下：

1. 将增广矩阵[A|0]化为行阶梯形矩阵R

2. 根据R中的主元列和非主元列，将未知量表示为主元变量和自由变量的线性组合，例如，如果第i列是主元列，则第i个未知量为主元变量，表示为x_i；如果第j列是非主元列，则第j个未知量为自由变量，表示为x_j。

3. 将自由变量取值为1，其余自由变量都取值为0，求出对应的主元变量的取值，得到一个基础解系中的向量。例如假设第j列是自由列，则可以令x_j=1，其余自由变量都取值为0，求解出对应的主元变量的取值，得到一个基础解系中的向量。

4. 重复步骤3，对所有自由变量都取值为1，其余自由变量都取值为0，求解出对应的主元变量的取值，得到另一个基础解系中的向量。

5. 将步骤3和4得到的向量作为基础解系中的向量，即可得到Ax=0的基础解系。

举例说明：

假设有一个矩阵A如下：

```

A = [1, 2, 3, 4;

2, 4, 6, 8;

3, 6, 9, 12]

```

则将增广矩阵[A|0]化为行阶梯形矩阵R为：

```

R = [1, 2, 3, 4, 0;

0, 0, 0, 0, 0;

0, 0, 0, 0, 0]

```

根据R中的主元列和非主元列，将未知量表示为主元变量和自由变量的线性组合：

```

x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0

```

由于只有第一列是主元列，所以x1为主元变量，x2、x3、x4为自由变量。

令x2=1，x3=0，x4=0，求解得到x1=-2，所以得到一个基础解系中的向量为：

```

[-2; 1; 0; 0]

```

令x2=0，x3=1，x4=0，求解得到x1=0，所以得到另一个基础解系中的向量为：

```

[0; 0; 1; 0]

```

令x2=0，x3=0，x4=1，求解得到x1=2，所以得到第三个基础解系中的向量为：

```

[2; 0; 0; 1]

```

所以Ax=0的基础解系为：

```

[-2; 1; 0; 0]

[0; 0; 1; 0]

[2; 0; 0; 1]

```

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