为什么只有五种正多面体

发表时间：2024-07-28 04:45:54 来源：网友投稿

设正多面体的每个面是正n边行，每个顶点是m条棱，于是，棱数E应是F（面数）与n的积的一半，即：

Nf=2E -------------- 1式

同时E应是V（顶点数）与M的积的一半，即

mV=2E -------------- 2式

由1式、2式，得

F=2E, V=2E/m,

代入欧拉公式

V+F-E=2，

有

2E/m+2E-E=2

整理后得1/m+1=1/2+1/E.

由于E是正整数，所以1/E>0。所以

1/m+1>1/2 -------------- 3式

3式说明m,n不能同是大于3，否则3式不成立。另一方面由于m和n的意义（正多面体一个顶点处的棱数与多边形的边数）知，m>=3且n>=3。所以m和n至少有一个等于3

当m=3时，因为1>1/2-1/3=1/6,n又是正整数，所以n只能是3，4，5

同理n=3，m也只能是3，4，5

所以

n m 类型

3 3 正四面体

4 3 正六面体

3 4 正八面体

5 3 正十二面体

3 5 正二十面体

由于上述5种多面体确实可以用几何方法作出，而不可能有其他种类的正多面体

所以正多面体只有5种

扩展资料：

正多面体的相关性质：

1、如果两个正多面体是同类型的正多面体，那么这两个正多面体的二面角都相。

2、正多面体的外接球、内切球、内棱切球都存在，并且三球球心重合。

3、正多面体的外心、内心、内棱心重合的点称为该正多面体的中心。

4、正多面体除正四面体外过任顶点和正多面体中心的直线必然经过正多面体的另一顶点，并且这两个顶点到正多面体中心的距离都相等。

5、除正四面体外，连线经过正多面体的f11心的两点称为相财顶点，连两双相对顶点的两条棱称为正多面体的对棱，由对棱围成的两个面称为正多面体的对面。

6、除正四面体外，正多面体的对棱、对面都平行。

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