函数的周期性的口诀

发表时间：2024-07-28 04:51:05 来源：网友投稿

周期函数的判定方法分为以下几步：

（1）判断f（x）的定义域是否有界；

例：f（x）=cosx（≤10）不是周期函数。

（2）根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f（x+T）= f（x）中是与x无关的，故讨论时可通过解关于T的方程f（x+T）- f（x）=0，若能解出与x无关的非零常数T便可断定函数f（x）是周期函数，若这样的T不存在则f（x）为非周期函数。

例：f（x）=cosx^2 是非周期函数。

（3）一般用反证法证明。（若f（x）是周期函数，推出矛盾，从而得出f（x）是非周期函数）。

例：证f（x）=ax+b(a≠0）是非周期函数。

证：假设f（x）=ax+b是周期函数，则存在T（≠0），使之成立，a（x+T）+b=ax+b ax+aT-ax=0，aT=0 又a≠0，∴T=0与T≠0矛盾，∴f（x）是非周期函数。

例：证f（x）= ax+b是非周期函数。

证：假设f（x）是周期函数，则必存在T（≠0）对，有（x+T）= f（x），当x=0时，f（x）=0，但x+T≠0，∴f（x+T）=1，∴f（x+T） ≠f（x）与f（x+T）= f（x）矛盾，∴f（x）是非周期函数。

第一个就是对称性。

对称性指的是函数的图像，其中包含有两部分知识：点对称和轴对称；

例如y=sinx的图像是点对称的图像；

又如y=cosx的图像是轴对称的图像；

第二个就是周期性。

周期性是指：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f(x)=f(x+T) 恒成立，则f(x)叫做周期函数。

T叫做这个函数的一个周期。

例如y=sinx是一个周期函数，

它的周期是2π；

又如y=cosx也是一个周期函数，

它的周期也是2π；

第三个就是奇偶性。

奇函数和偶函数最重要的特性在于，

奇函数：f(-x)=-f(x)，

例如正弦函数y=sinx；

偶函数：f(-x)=f(x)，

例如余弦函数y=cosx;

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