行秩和列秩不一样吗

矩阵A（m行n列）的行秩是行向量所能展开的空间的维度，即m个行向量中最大不线性相关的向量的个数，设为Rank(row);同样A的列秩是n个列向量空间的维度，记为Rank(col).

有：对于任何A,其Rank(col)=Rank(row)=Rank(A),即矩阵的秩等于行秩也等于列秩。

于是一个矩阵的秩等于它的转置的秩。

现在从一个角度理解下为什么 Rank(col)=Rank(row)=Rank(A)：

从矩阵乘法的两种理解说起（矩阵乘法的计算一共有四种方法，这里用到其中两种）：

C=AB可以看成A依次右乘以B的各列，即对于B的一列，拿它的元素作为系数对A的各列做线性组合，作为C中的一列。显然C中的各列都是A中各列的线性组合，C的列空间是A的列空间的子空间，即Rank(col)of C <= Rank(col) of A. 推广一下，A不管右乘多少个矩阵，得到的矩阵的列空间一定是A的列空间的子空间。

C=AB也可以看成B依次左乘以A的各行，即对于A的一行，拿它的元素作为系数对B的各行做线性组合，作为C中的一行。显然C中的各行都是B中各行的线性组合，C的行空间是B的行空间的子空间。

现在假设A（m行n列）的列空间的维度是r(r<=n)，则可以认为A=RB,(其中R为m行r列并且列空间的维度为r，B为r行n列）。由于A=RB，所以A的行空间的维度<=B的行空间的维度<=r，即A的行空间的维度<=列空间的维度。类似可以推出A的列空间的维度<=行空间的维度。这两条要同时满足，只能是行空间维度==列空间维度了。

另外矩阵乘法AB的其它两种定义，一个就是正常的求和公式；还有一个就是外积(A的各列乘以B的各行得到许多矩阵，然后相加)。

其实行秩和列秩为什么神奇的相等,需要更深入地学习. 比如 [Advanced Calculus Revised Edition, Loomis, Lynn H., 1968](

Advanced Calculus Revised, Lynn Harold Loomis, Shlomo Sternberg

), p84 提到:

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PS: 今天看《线性代数的几何意义》第5.7.1节，觉得里面说的比我上面说的更直观，我下面加工一下，复述如下：

首先有对于矩阵,行秩和列秩都: 以行秩为例，一共有才m行，所以行秩不可能大于m；而每个行向量才n个"坐标"，秩又不可能大于n；所以行秩。同理可以论证列秩。虽然这一步还没有说明行秩必须等于列秩，但是可以让我们把矩阵变先变成一个方阵后再讨论：假设,先把通过消灭多余（即线性相关）的列向量变成方阵 以后再讨论秩的问题。

这时候就是这本书里面讲的结论：“方阵里面，有几个行向量是多余的，就有几个列向量是多余的”。思路大致是假设行向量里面有一个是多余的(即是其它行向量的线性组合)，则可以把这个行向量去掉（或者变成0，一样的效果），这样就又不是一个方阵了。于是在通过上面的方法去掉一列，使它变成方阵。如此反复直到它变成一个方阵且行向量和列向量都独立为止。显然行秩必然等于列秩。