当前位置：新励学网 > 秒知问答 > 凸函数一定有极小值吗

凸函数一定有极小值吗

发表时间：2024-07-28 05:38:25 来源：网友投稿

不一定比如1/x在（0，1）上

. 紧集上的连续严格凸函数是有唯一极值点的。可以用反证法证明，假如x1, x2都是极值点，那么因为严格凸

与x1,x2是极值点矛盾。证毕。

2. 开集上的严格凸函数不一定有极值点。比如

通过求二阶导可以验证其在(-∞,0]是凸的，但是不存在极值。

3. 有界集上的连续可微函数是一定能通过梯度下降法找到极值点的，因为有如下定理（见, Page 38)："设pk是下降方向（不一定是梯度），ak是步长并满足Wolfe条件，设目标函数f在Rn上有界，且在开集N上连续可微，N是包含{x: f(x)<=f(x0), x0是初始点}的集合，假设▽f在N上Lipschitz连续，那么有"

其中θk是下降方向pk与-▽f的夹角。通过这条定理可以证明，梯度下降法和牛顿法，逆牛顿法都是收敛的。

(1) 令pk = -▽f 可推出

故梯度下降法收敛(2) 令

可推出

故牛顿法收敛。

(3) 令

其中Bk是对称矩阵，可推出【多元连续严格凸函数是否存在唯一极值点】

故拟牛顿法收敛。

4. 理论上步长ak应该是计算出来的，在梯度下降法实际应用中通常都是把步长选取一个较小的ak(取大了会震荡)

免责声明：本站发布的教育资讯（图片、视频和文字）以本站原创、转载和分享为主，文章观点不代表本网站立场。

如果本文侵犯了您的权益，请联系底部站长邮箱进行举报反馈，一经查实，我们将在第一时间处理，感谢您对本站的关注！