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三坐标法向值计算公式

发表时间：2024-07-28 05:42:07 来源：网友投稿

平面几何中一点关于给定三角形的三线坐标描述了它到三角形三条边的相对距离。三线坐标是齐次坐标的一个例子，经常简称为三线。

例子

内心有三线 1:1:1，这就是说，从三角形 ABC 的内心到边 BC、 CA、AB 的有向距离和实际距离有序三元组 (r, r, r) 成比例，这里 r 是三角形 ABC内切圆的半径。注意到记号 x:y:z 用比例冒号区分三线和实际有向距离。实际距离有序三元组 (kx, ky, kz)，能从比例 x : y : z 得到，利用面积关系不难算得

k=2σ/ax+by+cz

这里 a, b, c 分别是边长 BC、 CA、 AB， σ = ABC 的面积。（“逗号记法”应该避免使用。因为记号 (x, y, z) 意味着是一个有序三元组，不允许 (x, y, z) = (2x, 2y, 2z) 之类运算；但是“比号记法”允许 x : y : z = 2x : 2y : 2z。）

设 A、B 和 C 不仅表示三角形的顶点，也是在相应顶点的角。一些熟知点的三线如下：

A = 1 : 0 : 0

B = 0 : 1 : 0

C = 0 : 0 : 1

内心 = 1 : 1 : 1

A-旁心 = −1 : 1 : 1

B-旁心 = 1 : −1 : 1

C-旁心 = 1 : 1 : −1

外心 = cos A : cos B : cos C

垂心 = sec A : sec B : sec C

九点圆圆心 = cos(B − C) : cos(C − A) : cos(A − B)

重心 = bc : ca : ab = 1/a : 1/b : 1/c = csc A : csc B : csc C

类似重心 = a : b : c = sin A : sin B : sin C

注意到内心一般不是重心，重心有重心坐标 1:1:1（它们和实际有向面积 BGC、 CGA、AGB 成比例，这里 G = 重心）。

公式

利用三线坐标可将许多代数方法运用于三角形几何。比如三点

P = p : q : r

U = u : v : w

X = x : y : z

是共线的当且仅当行列式等于 0。这性质的对偶是三条直线

pα + qβ + rγ =

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