凯莱姆法则

发表时间：2024-07-28 05:42:15 来源：网友投稿

克莱姆法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的。

基本介绍

假若有n个未知数，n个方程组成的方程组：克莱姆法则(9张)

a11X1+a12X2+．．．+a1nXn = b1,

a21X1+a22X2+．．．+a2nXn = b2,

．．．．．．

an1X1+an2X2+．．．+annXn = bn.

或者写成矩阵形式为Ax=b，其中A为n*n方阵，x为n个变量构成列向量，b为n个常数项构成列向量。

而当它的系数矩阵可逆，或者说对应的行列式|A|不等于0的时候，它有唯一解xi=|Ai|/|A|，其中Ai〔i = 1，2，……，n〕是矩阵A中第i列的a 1i，a 2i，……a ni （即第i列）依次换成b1，b2，……bn所得的矩阵。

克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立。

使用克莱姆法则求线性方程组的解的算法时间复杂度可以达到O(n^3），这个时间复杂度同其它常用的线性方程组求解方法，比如高斯消元法相当。

当b1,b2,...,bn不全为0时，方程组为非齐次性方程组。

系数矩阵A非奇异时，或者说行列式|A|≠0时，方程组有唯一的解；

系数矩阵A奇异时，或者说行列式|A|=0时，方程组有无数个解。

当b1=b2=...=bn=0时，方程组为齐次性方程组。

克莱姆法则

若系数矩阵A非奇异时，则方程组有唯一的解，其所有分量均为0，我们通常称这个解为平凡解。

若齐次线性方程组有非零解，系数矩阵必然奇异，或者说对应的系数行列式必为0。

其实莱布尼兹〔1693〕，以及马克劳林〔1748〕亦知道这个法则，但他们的记法不如克莱姆。

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