怎么证明效用函数拟凹性
证明效用函数拟凹性一般会使用二阶条件。具体来说设$x_1$和$x_2$是两个不同的消费束，它们对应的效用分别为$u_1$和$u_2$，$x^*=alpha x_1+(1-alpha)x_2$是这两个消费束的凸组合，其中$0<alpha<1$。如果效用函数$u(x)$是拟凹的，那么必须证明有：
1. $u(x^*)geq alpha u(x_1)+(1-alpha)u(x_2)$
2. $alphaleft[left(frac{partial u(x_1)}{partial x_i}
ight)^2(frac{partial^2 u(x^*)}{partial x_i^2})+(frac{partial u(x^*)}{partial x_i})^2(frac{partial^2 u(x_1)}{partial x_i^2})
ight]+(1-alpha)left[left(frac{partial u(x_2)}{partial x_i}
ight)^2(frac{partial^2 u(x^*)}{partial x_i^2})+(frac{partial u(x^*)}{partial x_i})^2(frac{partial^2 u(x_2)}{partial x_i^2})
ight]leq 0$
其中$i$代表$x$的某一维度。
如果满足以上两点条件，那么效用函数$u(x)$就是拟凹的。其中条件1的含义是效用函数值在$x_1$和$x_2$之间的线段上，$x^*$的效用值是最高的。条件2的含义是给定一条经过$x^*$的直线，这条直线截取的效用函数值是拟凹的。
需要注意的是，拟凹性是一种比较强的假设，所以在实践中经常使用某些较弱的假设比如局部拟凹性。
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