拉氏变换积分定理证明
发表时间：2024-07-28 05:59:35
来源：网友投稿
拉氏变换积分定理可以通过以下的证明来得到。设函数 f(t) 的拉氏变换为 F(s) ，则根据拉氏变换的定义：F(s) = ∫[0,+∞] f(t) e^(-st) dt现在求 f(t) 的拉氏逆变换。根据拉氏逆变换的定义：f(t) = (1/2πi) ∫[σ-i∞,σ+i∞] F(s) e^(st) ds其中，σ 是一个大于所有 F(s) 中奇点实部的实数。现在我们取一个封闭曲线 C ，把积分路径变为 C ，这样就可以应用留数定理。根据留数定理，对于 C 上的所有奇点 s_0 ，有：Res(s_0) = (1/2πi) ∫[C] F(s) e^(st) ds把留数定理应用到这个积分中，我们有：f(t) = ∑[k] Res(s_k) e^(s_kt)其中，s_k 是 F(s) 的所有奇点。将 f(t) 的表达式代入 F(s) 的定义式中，我们可以得到积分定理的形式：∫[0,+∞] f(t) e^(-st) dt = ∑[k] Res(s_k) e^(s_kt)这就是拉氏变换积分定理的证明。
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