可积函数必有界吗
发表时间：2024-07-28 06:03:32
来源：网友投稿
可积函数不一定有界。假设这样一个函数f（x）=1（x是有理数的时候）=0（x是无理数的时候）那么f（x）在x为任意实数的时候，只有1和0两种取值，所以f（x）是有界的；但是在任意区间内，都有无数个有理数和无理数。所以f（x）在任意区间内都有无数个间断点，所以这个函数在任意区间内都不可积。
有界函数并不一定是连续的。根据定义ƒ在D上有上（下）界，则意味着值域ƒ（D）是一个有上（下）界的数集。根据确界原理，ƒ在定义域上有上（下）确界。一个特例是有界数列，其中X是所有自然数所组成的集合N。由ƒ（x）=sinx所定义的函数f：R→R是有界的。当x越来越接近-1或1时，函数的值就变得越来越大。
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