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亏加秩定理几何意义

发表时间：2024-07-28 06:16:34 来源：网友投稿

亏加秩定理:

设V,W是F上的线性空间, 则任意T:V→W, 定义集合 N(T) = {x∈V | Tx = 0} (核空间); R(T) = { y∈W | y=Tx, x∈V} (像空间). 称dimN(T) 为T的零度(或亏), dimR(T)为T的秩.V为有限维,则 dimN(T) + dimR(T) = dimV.

证明: 思路如下: 设V维度为n, N(T)的一组基为 x1, x2 … xr, 将其补充至V的一组基: x1,x2, .. , xr, xr+1, … , xn. 那么只要做两件事: 1.证明T(xr+1), T(xr+2).. T(xn)线性无关; 2.任意u∈R(T)可以被T(xr+1), T(xr+2).. T(xn)表示, 则得证. 证明线性无关的要点:利用N(T)和T的性质,把r+1到n转换成1到n,则他们线性无关.

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