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微分方程的共轭复数怎么算

发表时间：2024-07-28 06:42:42 来源：网友投稿

微分方程的共轭复数与复数解是密切相关的。考虑一个常系数线性微分方程：a_n y^(n) + a_(n-1) y^(n-1) + ... + a_1 y' + a_0 y = 0其中，y 是未知函数，a_0, a_1, ..., a_n 是常数，y^(n) 表示 y 对自变量的 n 次求导。设 y = u + v i 是微分方程的一个复数解，其中 u 和 v 是实函数，i 是虚数单位。将 y 代入微分方程中，实部和虚部分别相等，得到两个实函数方程：Re(a_n(u’ + v’i) + a_(n-1)(u’ + v’i) + … + a_1 (u’ +v’i) + a_0 (u +vi)) = 0Im(a_n(u’ + v’i) + a_(n-1)(u’ + v’i) + … + a_1 (u’ +v’i) + a_0 (u +vi)) = 0分别对实部和虚部进行求解，得到两个实函数方程：Re(a_n u’ + a_(n-1)u’ + … + a_1 u’ + a_0 u) + Re(a_n v’i + a_(n-1)v’i + … + a_1 v’i + a_0 vi) = 0Im(a_n u’ + a_(n-1)u’ + … + a_1 u’ + a_0 u) + Im(a_n v’i + a_(n-1)v’i + … + a_1 v’i + a_0 vi) = 0由于 u 和 v 是实函数，虚部为零，则上述两个方程化简为：Re(a_n u’ + a_(n-1)u’ + … + a_1 u’ + a_0 u) = 0Im(a_n u’ + a_(n-1)u’ + … + a_1 u’ + a_0 u) = 0即，u 是实函数，并且是原微分方程的一个实解。所以复数解的共轭复数就是原微分方程的一个实解。

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