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域扩张次数定理

发表时间：2024-07-28 06:52:30 来源：网友投稿

设分裂域为K/F,次数取决于多项式在F中根的个数，如果三个根都在F中，显然次数为[K:F]=1 只一个根在F中，则三次多项式f(x)=(x-c)(x^2+ax+b),其中x^2+ax+b在F中不可约，作K=F[x]/(x^2+ax+b),令α=x+(x^2+ax+b)，则K=F(α)为(x^2+ax+b)的分裂域，次数为2，由于c属于F，则K为三次多项式f(x)的分裂域,次数为2 f(x)在F中不可约，f(x)=x^3+ax^2+bx+c,类似情况2中作出一个K=F(α),[K:F]=3,则f(x)在K中可约f(x)=(x-α)(x^2+mx+n),m,n属于K,若(x^2+mx+n)在K中不可约，则由2中推理过程知，设E/K为(x^2+mx+n)分裂域，则[E:K]=2,故[E:F]=[E:K]*[K:F]=6,若(x^2+mx+n)在K中可约,则K为f(x)=x^3+ax^2+bx+c的分裂域，次数为3.

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