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一致收敛通俗理解

发表时间：2024-07-28 06:55:02 来源：网友投稿

在数学中一致收敛性（或称均匀收敛）是函数序列的一种收敛定义。其概念可叙述为函数列 fn一致收敛至函数 f 代表所有的 x，fn(x) 收敛至 f(x) 有相同的收敛速度。由于它较逐点收敛更强，故能保持一些重要的分析性质，例如连续性、黎曼可积性。

定义

设为一集合为一度量空间。若对一函数序列，存在满足

对所有存在，使得

则称一致收敛到。

最常用的是的情形，此时条件写成

对所有存在，使得

注意到一致收敛和逐点收敛定义的区别在于，在一致收敛中仅与相关，而在逐点收敛中还与相关。所以一致收敛必定逐点收敛，而反之则不然。

例子

在[-1,1]上一致收敛到绝对值函数的多项式序列

例子一：对任何上的连续函数，考虑多项式序列

可证明在区间上一致收敛到函数。其中的称为伯恩斯坦多项式。

透过坐标的平移与缩放，可知在任何闭区间上都能用多项式一致地逼近连续函数，这是斯通-维尔斯特拉斯定理的一个建构性证明。

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