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仿射几何的本质

发表时间：2024-07-28 06:59:13 来源：网友投稿

高等几何需掌握的基本概念与方法第一部分仿射几何学的概念一、平行投影与仿射对应 1.说明在一般情况下，仿射对应时对应点的连线不都是平行的。 2.在什么情况下，一般仿射对应时对应点的连线都互相平行。 3.两相交平面间的透视仿射对应有对应轴，如果有对应轴一般仿射对应时没有对应轴，那么这个仿射对应实质上仍然是透视放射对应。二、仿射对应的不变性质与不变量 1.证明：三角形的重心是仿射对应下的不变性质。 2.证明：平行四边形的中心是仿射对应下的不变性质。 3.证明：梯形在仿射对应下仍是梯形。 4.说明：两个全等的矩形在仿射下对应于两个等积的平行四边形。三、平面内的仿射变换及其决定 1.给出透视放射变换的对应轴即对应点',PP；求作已知三角形的对应图形。已知：对应轴L及一对对应点P，P；求作：ABC的对应图形。 2.在第一题条件下，求作已知正方形的对应图形。已知：对应轴L及一对对应点P，P；求作：正方形ABCD的对应图形 3.在题一条件下，做已知圆的对应图形。已知：对应轴L及一对对应点P，P；求作：圆O的对应图形。 4.给定由两个三角形321,,PPP为'3'2'1,,PPP所决定的仿射变换，求做在此仿射变换下平面内任意一点A的对应点'A。 5.给定一个梯形ABCD，并且已知梯形中的三角形ABC在仿射变换ABC在仿射变换下的对应三角形'''CBA。求做这梯形第四点D的对应点。

oADBCE

o'A'D'B'C' 6.给定一个正五角形，而且已知定点A， CB,在仿射变换下的对应点''',,CBA，求作ED,两点的对应点'D与'E。

PQCBAED

P'Q'C'B'A'E'D' 四、仿射变换的代数表示 1.证明：在仿射坐标系下直线的方程是一次方程。 2.在仿射变换下，试求向量的变换式。 3.试利用代数方法证明：三对对应点决定一个仿射变换。 4.欧氏几何学里的圆在仿射变换下变为怎样的图形？ 5.在仿射变换下，三角形的面积是怎样改变的？ 6.试从仿射变换式说明直线上三点所成的简比是仿射不变量。五、仿射变换的特例 1.求仿射变换式（1）使)1,1(),1,1(),0,0(三点变到)7,3()

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