求收敛半径要详细过程
发表时间：2024-07-28 07:00:13
来源：网友投稿
收敛半径是指幂级数在哪个区间内收敛的半径。求幂级数的收敛半径的步骤如下：
1. 使用比值测试或根值测试来确定收敛半径。比值测试公式为：
$$
lim_{n
oinfty}left|frac{a_{n+1}}{a_n}
ight|
$$
根值测试公式为：
$$
lim_{n
oinfty}sqrt[n]{|a_n|}
$$
如果比值测试或根值测试的极限值为 $L$，那么收敛半径 $R$ 为：
$$
R = begin{cases}
frac{1}{L}
ext{如果 } L
eq 0
infty
ext{如果 } L = 0
0
ext{如果 } L = infty
end{cases}
$$
2. 如果收敛半径 $R$ 存在，那么幂级数在 $(-R, R)$ 内绝对收敛，即：
$$
sum_{n=0}^{infty}a_nx^n
$$
在 $(-R, R)$ 内收敛。如果 $x = pm R$，则需要进行额外的讨论，判断是否收敛。
3. 如果比值测试或根值测试不能确定收敛半径，可以使用其他测试方法，如 Abel 测试、Dirichlet 测试等。
4. 如果幂级数不收敛，那么收敛半径为 $0$；如果幂级数在整个实数轴上都收敛，那么收敛半径为 $infty$。
以上就是求幂级数收敛半径的详细步骤。
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